Читать онлайн «Размерностные шкалы бикомпактов»

Сибирский математический журнал Май—июнь, 2008. Том 49, № 3 УДК 515. 127+515. 142 РАЗМЕРНОСТНЫЕ ШКАЛЫ БИКОМПАКТОВ В. В. Федорчук Аннотация. Вводится понятие (устойчивой) размерностной шкалы d-sc(X) про- странства X, где d — размерностный инвариант. Бикомпакт X называется размер- но единым, если dim F = dimG F для всякого замкнутого F ⊂ X и произвольной абелевой группы G. Доказывается, что существуют размерно единые бикомпакты с любой наперед заданной устойчивой шкалой dim-sc. Ключевые слова: размерность, когомологическая размерность, бикомпакт, раз- мерностная шкала. 1. Введение Всякий метризуемый компакт X конечной размерности dim X > 0 содер- жит одномерные континуумы. В 1965 г. Хендерсон построил [1] бесконечно- мерный компакт H, который не содержит одномерных континуумов и, следо- вательно, никаких замкнутых множеств конечной положительной размерности. Таким образом, компакт Хендерсона оказался первым бикомпактом без проме- жуточных размерностей, т. е. бикомпактом X, размерности замкнутых под- множеств которого не принимают значений, промежуточных между 0 и dim X. В 1973 г. построены [2] конечномерные бикомпакты без промежуточных раз- мерностей. 1. 1. Определение. Пусть d — размерностный инвариант, принимающий конечные или трансфинитные значения. Для пространства X полагаем d-sc(X) = {d(F ) : ∅ 6= F = [F ] ⊂ X}, где через [F ] обозначаем замыкание F . Множество d-sc(X) называем d-шкалой пространства X. Если d-sc(X) = {α : α ≤ d(X)}, то шкала d-sc(X) называется элементарной. Условившись, что dim X = ω0 , если dim X = ∞, отнесем к числу функций d и лебегову размерность. Шкалу dim-sc(X) будем называть размерностной шкалой пространства X и обозначать через sc(X). Другие размерностные функции d, которые мы будем рассматривать, суть когомологические размерности dimG относительно абелевых групп коэффици- ентов G (определение размерности dimG см. в п. 2, подробности — в [3]). Здесь наиболее изучен случай G = Z и G = ZP . Как и в случае лебеговой размерно- сти, будем писать dimG X = ω0 , если dimG X = ∞. Мы не будем касаться индуктивных размерностей, поскольку шкалы про- странств, для которых эти размерности определены, элементарны. По поводу Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 06–01–00764) и гранта РНП (2. 1. 1. 7988). c 2008 Федорчук В. В. Размерностные шкалы бикомпактов 683 трансфинитных размерностей Борста [4] и их модификаций [5] отметим толь- ко, что существуeт метризуемый компакт X, имеющий размерность dim2 X = α < ω1 , но не содержащий компактов Y конечной положительной размерности dim2 Y = dim Y (см. [5, добавление]). Основной вопрос, возникающий в этой тематике, звучит так: Каковы могут быть d-шкалы? В частности: Когда существуют неэлементарные d-шкалы?