Читать онлайн «О наследственной нормальности пространств вида F(X)»

Сибирский математический журнал Июль—август, 2008. Том 49, № 4 УДК 515. 12 О НАСЛЕДСТВЕННОЙ НОРМАЛЬНОСТИ ПРОСТРАНСТВ ВИДА F (X) А. В. Иванов, Е. В. Кашуба Аннотация. В предположении CH построен пример неметризуемого компакта X, который обладает следующими свойствами: 1) X n наследственно сепарабельно для любого n ∈ N; 2) X n \ n совершенно нормально для любого n ∈ N (n — обобщенная диа- гональ X n , т. е. множество точек, у которых хотя бы две координаты совпадают); F F 3) для любого сохраняющего вес и точки взаимной однозначности полунор- F мального функтора пространство k (X) наследственно нормально, где k — второй по величине элемент степенного спектра функтора (в частности, наслед- ственно нормальны X 2 и λ3 X). Пример компакта X является усилением принадлежащего Грюнхаге извест- ного примера неметризуемого компакта, имеющего наследственно нормальный и наследственно сепарабельный квадрат. Ключевые слова: полунормальный функтор, проблема Катетова, наследствен- ная нормальность, совершенная нормальность, наследственная сепарабельность. Классическая теорема Катетова [1] утверждает, что если для компакта X пространство X 3 наследственно нормально, то X метризуем. В. В. Федорчук[2] доказал обобщение этой теоремы для произвольного нормального функтора , F действующего в категории Comp компактов и непрерывных отображений: если F F степень не меньше 3 и 3 (X) наследственно нормально, то X метризуемо (все необходимые определения, касающиеся функторов, приведены ниже). Как за- метил Т. Ф. Жураев [3], требование наследственной нормальности 3 (X) в тео- F реме Федорчука можно ослабить до требования наследственной нормальности F 3 (X)\X (в теореме Катетова для метризуемости X достаточно наследственной нормальности X 3 \ ). В дальнейшем А. П. Комбаров [4] показал, что условие F наследственной нормальности пространства 3 (X)\X можно ослабить до усло- вия σ-компакт-нормальности. Задача распространения теоремы Федорчука на более широкие классы ковариантных функторов F : Comp → Comp приводит к F необходимости рассмотрения степенного спектра sp( ) функтора , который F F определяется как множество степеней точек пространств вида (X) [5]. В ра- боте [6] показано, что если F — полунормальный функтор, удовлетворяющий F некоторому комбинаторному условию, и sp( ) = {1, k, n, . . . }, то наследствен- F ная нормальность n (X) \ X влечет метризуемость X (здесь n — третий по F величине элемент sp( ) (см.