Читать онлайн «Ряды»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Ряды Учебное пособие Ставрополь, 2015 УДК 517. 52 ББК 22. 143 я 7 Я 641 Яновский А. А. Ряды: учебное пособие/ Яновский А. А. – Ставрополь. – 2015. – 43 с. Пособие предназначено для студентов инженерных и экономических направлений обучения и содержит элементы базового теоретического материала из раздела «Математический анализ», примеры решения задач, а также материалы для практического освоения изученного материала и контрольные задания в форме расчетно-графической работы. Предназначено для студентов 1 курса. © А. А. Яновский, 2015 2 § 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 1. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Бесконечные ряды широко используются в теоретических исследо- ваниях математического анализа, имеют разнообразные практические применения. Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида  u n 1 n  u1  u2  ...  un  ... , (1) где, u1 , u2 ,... , un ,... – действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, un – общим членом ряда. Ряд (1) считается заданным, если известен общий член ряда un , u  f  n . выраженный как функция его номера п: n Сумма первых п членов ряда (1) называется п-й частичной суммой ряда и обозначается через S n ,т. е. S n  u1  u2  ...  un . Рассмотрим частичные суммы S1  u1 , S 2  u1  u2 , S3  u1  u2  u3 ,... S  lim S n Если существует конечный предел n  последовательности частичных сумм ряда (1), то этот предел называют суммой ряда (1) и  S   un . говорят, что ряд сходится. Записывают: n 1 lim S n lim S n   Если n не существует или n , то ряд (1) называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет. Рассмотрим примеры. 1 2  17  3  196  ... 1. Ряд 4 нельзя считать заданным, а ряд 2  5  8  ... – можно: его общий член задается формулой un  3n  1. 2. Ряд 0  0  0  ...  0  ... сходится, его сумма равна 0. 3. Ряд 1  1  1  ...  1  ... расходится, S n  n   при n   . 4. Ряд 1  1  1  1  1  1  ... расходится, так как последовательность частичных сумм 1, 0, 1, 0, 1, 0,...  S1  1, S2  0, S3  1,...  не имеет предела.  1 5. Ряд  сходится. Действительно n 1 n  n  1 3  1 1 S1  1 , 1 2 2 1 1  1 1 1 1 S2    1        1  , 1 2 2  3  2   2 3  3 ………………, 1 1 1  1  1 1 1 1 1 1  1 Sn     1            ...     1 . 1 2 2  3 3  4  2   2 3   3 4   n n 1 n 1 Следовательно,  1  lim Sn  lim 1    1, n  n   n 1 т. е.