Читать онлайн «Задачи по теории вероятностей. Часть 4. Числовые характеристики функций случайных величин, предельные теоремы теории вероятностей. Методические указания по решению задач по теории вероятностей для студентов механико-математического факультета»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Г. М. Бездудный, В. А. Знаменский, Н. В. Коваленко, В. Е. Ковальчук, А. И. Луценко, В. В Рындина ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Часть 4 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по решению задач по теории вероятностей для студентов механико-математического факультета Ростов-на-Дону 2003 г. УДК 519. 2 Г. М. Бездудный, В. А. Знаменский, Н. В Коваленко, В. Е. Ковальчук, А. И. Луценко, В. В. Рындина Задачи по теории вероятностей. Часть 4. Числовые характеристики функций случайных величин, предельные теоремы теории вероятностей. Методические указания к решению задач для студентов всех специальностей и всех форм обучения механико-математического факультета РГУ. Печатается по постановлению кафедры теории функций и функционального анализа механико- математического факультета РГУ. Протокол № 2 от 9 октября 2003 г. Ответственный за выпуск – доктор физико-математических наук, профессор Кондаков В. П. Цель настоящей работы – помочь студентам в приобретении навыков по решению задач по теории вероятностей. В начале каждого раздела приводится необходимый теоретический материал, после чего подробно рассматривается большое число типовых примеров. © Коллектив авторов  Математическое ожидание и дисперсия функций случайных величин Математическое ожидание и дисперсия случайной величины η, связанной с заданной одномерной случайной величиной ξ функциональной зависимостью η = g ( ξ ) , определяются по формулам +∞ Mη= ∫ g ( x ) dFξ ( x ) , −∞ +∞ +∞ ⎡⎣ g ( x ) − Mη⎤⎦ dFξ ( x ) = g 2 ( x ) dFξ ( x ) − ( Mη) . 2 2 Dη = ∫ ∫ −∞ −∞ В случае, если ξ − дискретная случайная величина, принимающая значения xi с вероятностями pi , ∑ pi = 1 , то указанные формулы принимают вид i Mη = ∑ g ( xi ) pi , Dη = ∑ g 2 ( xi ) pi − ( Mη) . 2 i i Если ξ − абсолютно непрерывная случайная величина с плотностью вероятности p ( x ) , то +∞ +∞ ∫ g ( x ) p ( x ) dx , Dη = ∫ g ( x ) p ( x ) dx − ( Mη) . 2 2 Mη = −∞ −∞ Если ξ = ( ξ1 ,ξ 2 ,K ,ξ n ) − многомерная случайная величина, то для Mη , Dη в дискретном случае имеют место формулы Mη = ∑ g ( x1i ,K ,xni ) p ( ξ1 = x1i ,K ,ξn = xni ) , 1 n 1 n i1 ,K,in Dη = ∑ ( ) ( g 2 x1i1 ,K ,xnin p ξ1 = x1i1 ,K ,ξ n = xnin − ( Mη ) , ) 2 i1 ,K,in а в абсолютно непрерывном случае +∞ +∞ Mη = ∫ K ∫ g ( x1 ,K ,xn ) p ( x1 ,K ,xn ) dx1K dxn , −∞ −∞  +∞ +∞ ∫ K ∫ g ( x1 ,K ,xn ) p ( x1 ,K ,xn ) dx1K dxn − ( Mη) , 2 2 Dη = −∞ −∞ где p ( x1 ,K ,xn ) − плотность вероятности системы случайных величин ξ1 ,K ,ξ n .