Читать онлайн «Разрешимость обратных экстремальных задач для стационарных уравнений тепломассопереноса»

Сибирский математический журнал Сентябрь—октябрь, 2001. Том 42, № 5 УДК 517. 95 РАЗРЕШИМОСТЬ ОБРАТНЫХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА Г. В. Алексеев Аннотация: Рассматриваются обратные экстремальные задачи для стационарной системы уравнений тепломассопереноса, описывающих распространение вещества в вязкой несжимаемой теплопроводной жидкости в ограниченной области с липшице- вой границей. Указанные задачи заключаются в нахождении неизвестных парамет- ров среды либо плотностей источников по определенной информации о решении. Исследована разрешимость прямой краевой и обратной экстремальной задач, об- основано применение принципа Лагранжа, выведены и проанализированы системы оптимальности, установлены достаточные условия единственности решений. Биб- лиогр. 22. § 1. Введение. Постановка прямой краевой задачи Пусть Ω — ограниченная область в пространстве Rd , d = 2, 3, с липшицевой границей Γ, состоящей из двух частей ΓD и ΓN либо ΓcD и ΓcN . Рассмотрим в Ω краевую задачу −ν∆u+(u·grad)u+grad p = f +(βC C −βT T )G в Ω, divu = 0 в Ω, u = g на Γ,   (1. 1) ∂T −λ∆T + u · grad T = f в Ω, T = ψ на ΓD , λ + αT = χ на ΓN , (1. 2) ∂n ∂C ∂C −λc ∆C + u · grad C − w0 + kC = fc в Ω, C = 0 на ΓcD , = χc на ΓcN , λc ∂z ∂n (1. 3) описывающую перенос вещества в вязкой несжимаемой теплопроводной жидко- сти. Здесь используются обычные обозначения (см. , например, [1–3]). В част- ности, u, p, T и C — скорость, давление, температура и концентрация вещества (субстанции) в жидкости — искомые функции, ν = const > 0 — коэффициент кинематической вязкости, λ = const > 0 — коэффициент температуропровод- ности, λc = const > 0 — коэффициент диффузии, f — объемная плотность внешних сил, f — объемная плотность источников тепла, fc — объемная плот- ность источников вещества, w0 = const ≥ 0 — величина вертикальной скорости осаждения вещества, G = −(0, 0, G) — вектор ускорения свободного падения, βT , βC , g, ψ, α, χ и χc — некоторые функции. Ниже на задачу (1. 1), (1. 3) при заданных функциях f , g, βT , βC , f , ψ, α, χ, k, fc и χc будем ссылаться как на задачу 1. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 99–01–00214). c 2001 Алексеев Г. В. 972 Г. В. Алексеев Целью настоящей работы является исследование разрешимости обратных экстремальных задач для модели (1. 1)–(1. 3).