Читать онлайн «Учебное пособие по курсу высшей алгебры»

I. Теорема о числе решений системы уравнений. Система m линейных уравнений с п* неизвестными пишется в виде Z ***** «г > <=<,. ->". (D Она называется однородной«если 4;*0 для всех i . Система Г Л (2) •С» 4 называется однородной системой. соответствующей системе (I). . Теорема. Если система (I) имеет решение х х| (<*V >*) то все ее решения имеют вид: где С t*,... ^*) " лю^ое решение соответствующей однородной системы. Доказательство. Пусть or^s \ (*»*»">*\- любое другое решение системы (I). Тогда числа у •f^f удовлетворяют системе уравнений «с Наоборот,пусть C^w^^^) - любое решение соответствующей однородной системы уравнений ^2). Тогда tffff fcs* 2 Теорема доказана. Теорема. Число решений любой системы линейных уравнений равно либо 0 ,либо f ,либо с^> . Если эта система однородна, то число решений равно либо i ,ли(ю оо . Доказательство. Если у системы решений пет,то она заведомо неоднородная, потому что ос -Of ie* 4,. . ,и) есть решение однородной системы. Пусть есть больше одного решения. Возьмем два разных решения **-? и x^-f . Тогда где Л - любое число,есть решение системы (1). В самом деле, по предыдущей теореме,нужно лишь проверить,что *xK* ^ff^f*) (***>. ♦•, и J решение соответствующей однородной системы (2), что очевидно,ибо Кроме того,при разных tL решения будут разными,потому что ^^41* для некоторого к ,и,значит W(Vt-i«)**. +*(?,«-?«) «ри **? Поэтому решений получится бесконечно много. Замечания. I) Решения однородной системы образуют линейное пространство,что,конечно,неверно для неоднородной системы. 3 Если в линейном пространстве есть ненулевой вектор,то в нем есть бесконечно много векторов (например,полученных из одного умножением на числа). 2) Метод Гаусса показывает,что у однородной системы,для которой нут iчисло решений всегда о* . Следовательно,у неоднородной системы,для которой л^ж ,число решений может быть только либо 0 ,либо о*. Сведем результаты в таблицу: число решений Тип системы общая 0,1,- однородная \%Ь* неоднородная с однородная с О,** о*> 2. Действие подстановок на определитель. Пусть А- ( :. ) - матрица с rt строками и столбцами, "|. - ее * -я строчка. Для любой подстановки ПС rt-й степени }Т* ри определим ее действие на матрицу А * считая, что- переставляет строки этой матрицы: - (VM'f) Обозначим через АI : 1 определитель матрицы /к Ф 2-1521 ь Теорема. Имеет место равенство uCrW4t) где *$*** - знак подстановки f . Доказательство. Пусть ""J. ^C*^ э'^^сп) «По определению, В каждом одночлене под знаком суммы расположим сомножители так, чтобы первые индексы шли в порядке возрастания. Если vcr^t, ТО ХгТИ(\)) *С*)= <ТМ(* ) ,ПОЭТОМУ Кроме того,воспользуемся тождеством «'«бг'г',откуда <<)»чг» \^t («T"1) ^»tT (5) Подставляя (4) и (5) в (3),находим: 5 Но так как &Т~1 пробегает все элементы S по одному разу,когда «Г фиксировано,а б* пробегает все элементы g по одному разу,получаем *(£W(D Теорема доказана. Определение. Пусть Д ^ (^ilc) . Матрица л - (fit, N называется транспонированной к А ,если Си . ~0,г£ Для всех £ к. Теорема. Если А - квадратная матрица,то |А*|«|А| Доказательство. В каждом одночлене под знаком суммы расположим множители так, чтобы первые индексы шли в порядке возрастания. Получим: Учтем,кроме того,что -l^vi €*\<ьн £'**= 4д*€'би= лдие-1 и, чит, -*^*6**«нбГ . Следовательно, |А#1* Z «у. в'1« Чо ... «. ^-. ^ - IAI , зна б потому что tf" вместе с С по одному разу пробегает все элементы группы рл. Теорема доказана.