Читать онлайн «Категории и функторы»

Министерство образования и науки Российской Федерации Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского А. В. Ершов КАТЕГОРИИ И ФУНКТОРЫ Учебное пособие для студентов механико-математического факультета Саратов ООО Издательский Центр "Наука" 2012 УДК [512. 581/. 582+515. 142](075. 8) ББК 22. 144я73+22. 152я73 Е80 УДК [512. 581/. 582+515. 142](075. 8) ББК 22. 144я73+22. 152я73 Ершов А. В. Е 80 Категории и функторы: Учебное пособие. - Саратов: ООО Издательский центр "Наука", 2012. - 88 с. ISBN 978-5-9999-1223-7 Данное издание представляет собой учебное пособие по теории категорий для студентов механико-математического факультета. Оно охватывает темы: определение и примеры категорий, сумма и произведение в категории, универсальные объекты, дуальная категория, определение и примеры функторов. Каждое вводимое понятие иллюстрируется многочисленными примерами из различных областей математики. В тексте содержится большое количество задач, решение которых способствует активному усвоению материала. Среди рассматриваемых примеров существенное место отводится примерам из топологии, что позволяет рекомендовать данное пособие для использования в учебном процессе при подготовке магистров по профилю "Геометрия и топология". Рекомендуют к печати: Доктор физико-математических наук, профессор М. В. Лосик Кафедра геометрии Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского Работа издана в авторской редакции ISBN 978-5-9999-1223-7 ©А. В. Ершов, 2012 Оглавление 1 Начала теории категорий 9 1. 1 Определение категории 9 1. 2 Первые примеры категорий 13 1. 3 Сумма и произведение в категории 22 1. 4 Универсальные объекты 33 1. 5 Дуальная категория и произведение категорий 54 2 Функторы 57 2. 1 Определение и первые примеры функторов 57 2. 2 Примеры функторов из топологии 67 2. 3 Контравариантные функторы 74 3 Добавления 79 3. 1 Добавление 1. Свойства компактно-открытой топологии . 79 3. 2 Добавление 2. Фундаментальная группа 80 3 Математика - это искусство называть разные вещи одним и тем же именем. А. Пуанкаре Введение. Зачем нужна теория категорий Теория категорий (сначала как язык функторов и естественных преобразований) возникла в середине прошлого века в работах С. Эйленберга и С. Маклейна по алгебраической топологии. Постепенно из алгебраической топологии (вместе с методами гомологической алгебры, с которой она исторически тесно связана) она стала проникать в другие области математики (в первую очередь в алгебраическую геометрию (где её потенциал особенно ярко был продемонстрирован в работах А. Гротен- дика), в алгебру, в функциональный анализ, а в последнее время и в Computer Science, логику и даже в физику (см. [1])). "Пользовательская" точка зрения на теорию категорий состоит в том, что она является языком современной математики, в ряде областей оказавшимся адекватной заменой языку теории множеств. Его специфику выражает следующая фраза, взятая из Добавления "Язык категорий" к запискам лекций Ю. И. Манина [11]: "Язык категорий воплощает "социологический" подход к математическому объекту: группа или пространство рассматривается не как множество с внутренне присущей ему структурой, но как член сообщества себе подобных". 1 Язык категорий играет унифицирующую роль в современной математике, устанавливая глубокие и нетривиальные связи между различными её областями.