Читать онлайн «Градуированные алгебры Ли с малым числом нетривиальных компонент»

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2007. Том 48, № 1 УДК 512. 5 ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ С МАЛЫМ ЧИСЛОМ НЕТРИВИАЛЬНЫХ КОМПОНЕНТ Н. Ю. Макаренко n−1 L Аннотация: Доказывается, что (Z/nZ)-градуированная алгебра Ли L = Li с i=0 малым числом d нетривиальных компонент Li и компонентой L0 конечной раз- мерности m обладает однородным разрешимым идеалом ступени разрешимости, ограниченной функцией от d, и коразмерности, ограниченной функцией от m и d. Верен также аналогичный результат для (Z/nZ)-градуированных колец Ли n−1 L L = Li с малым числом d нетривиальных компонент Li и компонентой L0 i=0 конечного порядка m. Эти результаты обобщают теорему Шалева о разрешимости n−1 L (Z/nZ)-градуированных колец Ли L = Li с малым числом d нетривиальных i=0 компонент Li и нулевой компонентой L0 . Доказательство базируется на методе обобщенных централизаторов, созданном Е. И. Хухро для колец Ли и нильпотент- ных групп с почти регулярными автоморфизмами простого порядка [1], и технике, развитой в работе Н. Ю. Макаренко и Е. И. Хухро о почти разрешимости алгебр Ли с почти регулярным автоморфизмом конечного порядка [2]. Ключевые слова: градуированные алгебры Ли, градуированные кольца Ли. § 1. Введение (Z/nZ)-градуированные алгебры Ли естественным образом возникают при изучении алгебр Ли с автоморфизмом порядка n. Это связано с тем, что после расширения основного поля примитивным корнем n-й степени ω подпростран- ства собственных векторов Lj = {a | ϕ(a) = ω j a} ведут себя как компоненты (Z/nZ)-градуировки: [Ls , Lt ] ⊆ Ls+t , где s+t вычисляется по модулю n. Напри- мер, доказательство теоремы Крекнина [3] о том, что алгебра Ли с регулярным автоморфизмом конечного порядка n разрешима ступени ≤ 2n − 2, сводится к L n−1 доказательству разрешимости (Z/nZ)-градуированной алгебры Ли L = Li , i=0 у которой компонента L0 равна 0. В более общей ситуации, когда алгебра Ли L допускает почти регулярный автоморфизм конечного порядка n (т. е. подал- гебра неподвижных точек CL (ϕ) конечномерна и имеет размерность, скажем, m), недавно в [2, 4] было доказано, что L почти разрешима, т. е. обладает раз- решимым идеалом ступени разрешимости, ограниченной функцией от n, кораз- мерность которого ограничена функцией от m и n.