Читать онлайн «Элементы теории мер. Методические указания»

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. П. Рунова, Л. В. Рунов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Элементы теории мер Ростов-на-Дону 1999 г. Печатается по решению кафедр теории функций и функционального анализа механико-математического факультета и кафедры экономической кибернетики экономического факультета. Протокол № 9 от15 апреля 1999 г. Рунова Л. П. , Рунов Л. В. Элементы теории мер. Учебное пособие «Элементы теории мер» предназначено для студентов экономического и механико-математического факультетов при многоуровневой системе подготовки специалистов. Пособие содержит основной теоретический материал, связанный с теорией меры, большое количество примеров, исторических фактов, задач по рассматриваемой тематике. Пособие опирается на материал методических указаний по теме «Элементы теории множеств» части I и II тех же авторов и является продолжением поднятой темы. Материал пособия может быть использован как для теоретической подготовки студентов, так и для практических занятий. В современных экономических теориях часто используется различный математический аппарат, опирающийся на обобщение понятия длины, площади, объема, т. е. на некоторое расширение понятия «размера». Примером такой науки служит эконометрика, которая, в сущности, является наукой об измерении в экономике, и при этом широко использует методы математической статистики, теории вероятностей, математического и функционального анализа. Один из наиболее важных абстрактных инструментов, который в сочетании с различными математическими дисциплинами служит изучению конкретных моделей, - это «общая» теория меры и интеграла. Обсуждение математических тонкостей этой теории не представляет, на наш взгляд, большого интереса для будущих экономистов, но знакомство с общими идеями, понятиями и примерами будет полезным. Эту цель мы и будем преследовать в нашей работе. Прежде всего отметим, что проблема расширения понятия «размера» не может быть решена для любых множеств, если мы хотим сохранить традиционное свойство инвариантности «размера» относительно вращений и переносов, и при этом чтобы он не был тривиальным (например нулевым для всех множеств). Существует классический пример, основанный на парадоксе Банаха-Тарского, подтверждающий эту мысль: можно разбить единичный шар в пространстве R3 на конечное число (пять) взаимно не пересекающихся подмножеств таким образом, чтобы с помощью вращений и переносов собрать их и получить два шара прежнего единичного радиуса (теорема Бараха-Тарского). Естественно, что подмножества разбиения шара не могут при этом обладать каким- либо ненулевым размером. Таким образом все множества не могут обладать «размером» (доказано Феликсом Хаусдофом) и лишь некоторые из них могут быть отнесены к семейству измеримых множеств. Это, прежде всего множества, измеримые по Жордану, т. е. имеющие обычную длину, площадь, объем и т.