Читать онлайн «Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению»

Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению. Осмоловский Н. П. Оглавление Лекция 1. 4 Лекция 2. 13 Лекция 3. 23 Минимизация функционала на множестве 30 Лекция 4. 33 Теорема Люстерника и ее обобщения. Задача с гладким ограничением типа равенства 35 Лекция 5. 44 Лекция 6. 50 Теорема отделимости. Леммы о замкнутости образа и об анну- ляторе ядра для линейного сюръективного оператора. Правило множителей Лагранжа в гладкой задаче с ограничениями типа равенства 50 Теорема Дубовицкого - Милютина о непересечении конечного числа выпуклых конусов и условия минимума в гладкой задаче математического программирования 56 Лекция 7. 59 Негладкая задача с ограничениями 63 Лекция 8. 69 Лекция 9. 77 2 Задача оптимального управления. Локальный принцип максимума - необходимое условие слабого минимума (уравнение Эйлера - Лагранжа) 77 Лекция 10. 85 Лекция 11. 95 Лекция 12. 106 Принцип максимума Понтрягина 106 Лекция 13. 113 Лекции 14-16. 121 3 Лекция 1. 1. Задача о брахистохроне {1696 г. , И. Бернулли. ) Определить путь, спускаясь по которому под действием собственной тяжести, тело М, начав двигаться из точки А, дойдёт до точки В за кратчайшее время. Решение задачи - кривая наискорейшего спуска, или брахистохрона (циклоида). Формализация задачи : Рис 1. 1 В точке М(х,у) по закону сохранения энергии имеем: mv2 тдп -\—— = 0. 4 (так как в точке А и потенциальная, и кинетическая энергия равны нулю). v2 I m = l,h = -y=> — = ду; v = ^/2ду; ds г— ds \/1 + у12 у1%™ dt = 7/4? dt dt v ' у/2ду' лД9У Задача: XI = / . dx —> mm (а) 2/(0) = 0, y(x1)=y1. (b) Требуется найти функцию у = у(х), х е [0,£i] (х\ - фиксирован), удовлетворяющую условиям (Ь) и доставляющую минимум интегралу (а). Решение (циклоида) было дано самим И. Бернулли, а также Я. Бер- нулли, Лейбницем и Ньютоном. 2. Простейшая задача вариационного исчисления. Какому классу задач принадлежит задача о брахистохроне? Опишем этот класс: in J(y(-)) = J F(x, y(x),y'(x)) dx (*) y(x0) = a, y(xi) = b (**) Отрезок [xo,xi] фиксирован. Заданы также a, b и функция F(x,y,z). Требуется найти функцию у{х) : [xo,xi] —> R1 , удовлетворяющую граничным условиям (**) и доставляющую минимум интегральному функционалу (*). Задача (*) и (**) и есть простейшая задача вариационного исчисления. В вариационном исчислении принято обозначать независимую переменную через х, а в оптимальном управлении - через t. Мы сразу примем обозначения оптимального управления и переформулируем задачу следующим образом: *i mm J(х(■))= f F(t,x(t),u(t))dt (1) to 5 x(t) = u(t) (2) x(t0) = a, x(ti) = b (3) (t,x(t),u(t))eQ (4) Итак, вместо y(x) теперь мы пишем x(t) : [to, ti] —> R. Переменную t принято трактовать как время. Отрезок [t0,ti] фиксирован, числа а и b заданы, Q е R3 - открытое множество, служащее областью определения функции F(t, х, и) : Q —» R, которая также известна. Пока нам достаточно считать, что функция F непрерывна на Q вместе со своими производными Fx и Fu. Итак, мы имеем задачу на фиксированном отрезке [to, ti] с закреплнными концами (согласно условиям (3) ).