Читать онлайн «Теория рядов. Основные понятия в их историческом развитии: Методические указания»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Оренбургский государственный университет" Кафедра математического анализа И. К. ЗУБОВА ТЕОРИЯ РЯДОВ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ В ИХ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом государственно- го образовательного учреждения высшего профессионального образования "Оренбургский государственный университет" Оренбург 2003  ББК 22. 16 З 91 УДК 517. 5 Рецензент кандидат физико-математических наук, доцент Л. М. Невоструев Зубова И. К. З 91 Теория рядов. Основные понятия в их историческом развитии: Методические указания. — Оренбург: ГОУ ОГУ, 2003. — 28 с. : ил. Методическое пособие посвящено основным понятиям теории рядов. Предлагается краткий обзор истории формирования этих поня- тий, выявляющий связь теории рядов с теорией дифференциальных уравнений, математической физикой, теорией функций. Рассматри- ваются примеры разложения функций в ряд Фурье. Пособие рекомендуется преподавателям и студентам всех специ- альностей ГОУ ОГУ. ББК 22. 16 © Зубова И. К. , 2003 © ГОУ ОГУ, 2003  Введение Изучение теории рядов, как, впрочем, и изучение любой математической теории, начинается со знакомства с ее основными понятиями, с установления связей между ними и их свойств, а затем указывается, для решения каких прак- тических задач используется построенная теория. Однако естественный (исторической) ход формирования научной теории почти никогда не совпадает с ходом ее изучения. Чаще всего в процессе разви- тия науки практические задачи ставили ученых перед необходимостью исполь- зования того или иного научного аппарата, а уже потом сам аппарат усовер- шенствовался, обобщался, обретал математическую строгость. Нам приходится изучать уже сформировавшуюся теорию по порядку, начиная с основных ее по- нятий. Однако знание истории решения той или иной задачи часто объясняет необходимость этого решения и его применения, помогает выработать более общий взгляд на изучаемый вопрос. В данном пособии дается исторический обзор вопросов, связанных с чи- словыми и функциональными рядами. Этот обзор может помочь изучающему теорию рядов увидеть ее связь с различными разделами математики, и поэтому пособие рекомендуется студентам всех специальностей. 1 Числовые и функциональные ряды. Признаки сходимости знакоположи- тельных рядов Ряды, рассматриваемые в курсе, расположим в виде следующей блок- схемы: РЯДЫ Числовые Функциональные Знакоположительные Знакопеременные Степенные Тригонометрические Прочие Знакочередующиеся Прочие знакопеременные Пусть задана числовая последовательность х1, х2, ... , хn, ... .