Читать онлайн «Антье»

САМАРСКИЙ МУНИЦИПАЛЬНЫЙ КОМПЛЕКС НЕПРЕРЫВНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «Университет Наяновой» АЛ. Андреев, А. И. Люлев, АН. Савин АНТЬЕ Серия А: Математика Выпуск 2 Издательство «Пифагор» Самара 1997 Серия А: Математика Андреев А. А. , Люлев А. И. , Савин А. Н. Антье. Учебное издание. Серия А: Математика. Вып. 2. — Самара: Пифагор, 1997. — 23 с. Цель этой брошюры — познакомить читателя с некоторыми свойствами функции целой и дробной части действительного числа. Книга снабжена многочисленными примерами и задачами и предназначена для учащихся старших классов, но может также быть использована в работе школьного математического кружка. Учебное издание Редактор серии канд. физ. -мат. наук, доцент Андреев А, А. Рецензент докт. физ. -мат. наук. , профессор Кислое Я. 5. , кафедра математического моделирования, Московский Государственный Технический Университет (МЭИ) © Андреев А. А. , Люлев А. И. , Савин А. Н. , 1997 Введение Антье — это известный французский математик 18 века. (Из студенческого фольклора) В различных математических олимпиадах последних лет (Соросовская олимпиада, олимпиады Физико-Технического Института, Всероссийская олимпиада) присутствуют задачи, основанные на применении целой и дробной части действительного числа. В курсе математики средней школы эти понятия, как правило, не изучаются, и, поэтому, многие школьники вообще не приступают к решению подобных задач. Настоящая брошюра преследует цель ознакомить читателя с понятиями антье и дробной части. В ней подробно рассмотрены приемы решения различных уравнений, содержащих выражения под знаком антье, а также примеры построения графиков функций. Особое внимание уделено задачам на делимость натуральных чисел и популярному разделу «антье в геометрии». В конце сборника приведены задачи для самостоятельного решения. з 1. Антье и её свойства. Целой частью действительного числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х. Обозначается целая часть х символом "И". Ясно, что [х] - такое целое число, что [х]<х<[х]+1. Далее целую часть х будем также называть "антье" (от франц. Entier - целый). Например: [3,5]=3, [~3,5]=-4,[3]=3,[-5]=-5. Наряду с целой частью числа существует понятие дробной части числа, которая обозначается {jc} и определяется следующим образом: {л:}=х-[х]. Очевидно, что для любого действительного числа х выполняется двойное неравенство: 0<{jc}<1. В самом деле, 0<{х}=х~М<1. Так {3,5}=0,5, {-3,2}=0,8, {5}=0, {-5}=0. Антье обладает различными свойствами. Перечислим некоторые из них. 1°. Если х>0, то М>0. Если х<0 , то [х]<0. 2°. Если р - целое число, то [jc+/?]=[x]+/?. Так как дробная часть числа х равна дробной части числа х+р, то из равенства {х+р}={х} следует х+р-[х+р]=х~[х], откуда получаем [х+р]=[х]+р. 3°. Для любых двух действительных чисел х и у справедливо [х+у]>И+[у]. Действительно, а=[а]+{а}, Р=[Р]+{Р}- Следовательно, а+р=[а]+ +[Р]+{а}+{Р}. Так как [а] и [Р]-целые числа, то по свойству 2° [а+р]=[[а]+[Р]ч-{а}+{р}]-[а]+[Р]+[{а}+{Р}]>[а]ч-[р], потому что {а},{Р}>0 и по свойству 1° [{а}+{Р}]>0. Свойство 3° распространяется также на любое конечное число действительных чисел: [а+р+... +со]>[а]+[Р]+... +[со]. 4°.