Читать онлайн «Кратный интеграл»

Печатается по решению кафедры теории функций и функционального ана- лиза механико-математического факультета РГУ Протокол № 6 от 23 марта 2000 г. Ответственный за выпуск – доктор физико-математических наук, профессор Кондаков В. П. Данная методическая разработка предназначена для студентов 2-го курса дневной и вечерней формы обучения отделения прикладной математики механи- ко-математического факультета РГУ, но может быть использована также и сту- дентами отделений математики и механики и студентами физического факульте- та. Методическая разработка написана в соответствии с рабочей программой курса математического анализа для студентов отделения прикладной математики механико-математического факультета, разработанной кафедрой теории функций и функционального анализа, содержит весь необходимый теоретический материал по рассматриваемой теме и достаточное количество примеров.  3 В методической разработке использованы терминология и обозначения, принятые в [3], поэтому рекомендуем предварительно ознакомиться с указанной работой. Объём тела r Пусть R - n-мерное евклидово пространство, a1 = {a11 , a12 , K, a1n } , n r r a2 = {a 21 , a 22 , K, a 2 n } ,... , an = {a n1 , a n 2 , K, ann } - произвольные векторы. Эти векторы определяют n-мерный параллелепипед Π, для которого они служат ребрами, вы- ходящими из одной вершины. Как известно, объём этого параллелепипеда может быть вычислен по формуле a11 a12 K a1n a21 a22 K a2 n v(Π ) = absdet(aij ) = abs , (1) KKKKK... . . an1 an 2 K ann r r r Рассмотрим n-мерную пирамиду, у которой векторы a1 , a2 ,K, an являются боковыми рёбрами, а основанием служит (n - 1)-мерная пирамида, вершинами ко- торой являются концы данных векторов. Такую пирамиду называют n-мерным симплексом. Можно показать, что объём описанного симплекса S вычисляется по формуле v ( S ) = 1 v(Π ) = 1 absdet(ai j ) . (2) n! n! Заметим, что объём n-мерного параллелепипеда и n-мерного симплекса, оп- ределённый формулами (1) и (2), не зависит от выбранного в R n ортонормиро- ванного базиса, поскольку переход от одного ортонормированного базиса к дру- гому сводится к параллельному переносу, при котором матрица (a i j ) не изменя- ется, и ортогональному преобразованию, при котором она умножается на ортого- нальную матрицу, модуль определителя которой равен единице. Определение. Назовём многогранником любое множество в R n , которое можно представить как конечное объединение симплексов, не имеющих попарно общих внутренних точек.