Читать онлайн «Функциональные уравнения»

САМАРСКИЙ МУНИЦИПАЛЬНЫЙ КОМПЛЕКС НЕПРЕРЫВНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «Университет Наяновой» А. А. Андреев, Ю. Н. Кузьмин, А. Н. Савин Серия А: MATEMATUKA Выпуск 3 САМАРА 1997 САМАРСКИЙ МУНИЦИПАЛЬНЫЙ КОМПЛЕКС НЕПРЕРЫВНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «Университет Наяновой» АЛ. Андреев, ЮИ. Кузьмин, АН. Савин Функциональные уравнения Серия А: Математика Выпуск 3 Издательство «Пифагор» Самара 1997 Серия а: Математика Андреев А. А. , Кузьмин Ю. Н. , Савин А. Н. Функциональные уравнения. Учебное издание. Серия А: Математика. Вып. 3. — Самара: Пифагор, 1997. — 45 с. Цель этой брошюры — познакомить читателя с некоторыми методами решения функциональных уравнений. Книга предназначена для учащихся старших классов, а также окажет неоценимую помощь в работе школьного математического кружка. Учебное издание Редактор серии канд. физ. -мат. наук, доцент Андреев А. А. Рецензент докт. физ. -мат. наук. , профессор Кислое Н. В. , кафедра математического моделирования, Московский Государственный Технический Университет (МЭИ) © Андреев А. А. , Кузьмин Ю. Н. , Савин А. Н. , 1997 Введение С функциональными уравнениями вы наверняка сталкивались не раз, но, наверное, и не подозревали, что они так называются. Вообще говоря, функциональное уравнение — это уравнение, в котором неизвестными являются функции (одна или несколько). Например, Лх) + хЛх+1)=1, Л*) + ,(1-*) = у(4у. Крупнейшие математики (в их числе Эйлер, Гаусс, Коши, Далам- бер, Абель, Лобачевский, Дарбу, Гильберт) неоднократно обращались к функциональным уравнениям и уделяли много внимания разработке методов их решения. Под выражением "решить функциональное уравнение" понимается нахождение неизвестной функции, при подстановке которой в исходное функциональное уравнение оно превращается в тождество (если неизвестных функций несколько, то необходимо найти их все). Ещё раз подчеркнём, что соотношения, задающие функциональные уравнения, являются тождествами относительно некоторых переменных, а уравнениями их называют постольку, поскольку неизвестные функции — искомые. Как вы уже заметили, в функциональных уравнениях кроме неизвестных функций могут присутствовать функции известные, заданные 2 в любой форме — явной (такие как х+\, ——, cos хит. п. ) или неявной. Одними из простейших функциональных уравнений являются уравнения Коши Лх+у)=Лх)+М, (1) Лх+у)=Лх)М, (2) Лху) =Дх) +М, (3) Лху)=Лх)М- (4) Эти уравнения Коши подробно изучил в своём "Курсе Анализа"1, изданном в 1821 году. Непрерывные решения этих четырёх основных уравнений имеют соответственно вид Лх) = ах, cf, log^, х"(х>0). 1 A. Cauchy, Cours d'analyse de i'Ecolepolytecfanique 1. Analyse algebreque, V (Paris, 1821). 3 В классе разрывных функций могут быть и другие решения. Уравнение (1) ранее рассматривалось Лежандром и Гауссом при выводе основной теоремы проективной геометрии и при исследовании гауссовского закона распределения вероятностей.