Читать онлайн «Минимаксные планы проверки адекватности линейной модели на кубе и шаре»

■f \ С:Х 1 МШАКУЛЬТЕТСКАЯ ЛАБОРАТОРИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ М. Б. Малютов, ВД. Мятлев МИШМАКСНЫЕ ПЛАНЫ ПРОВЕРКИ АДЕКВАТНОСТИ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ НА КУБЕ И ШАРЕ Препринт * 23 M. B. Malyutor, V. D. Myatlev МШШАХ DESIGNS FOR A TEST OF FIT OF A LINEAR MODEL ON A CUBE AND A BALL БИБЛИОТЕКА ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА M. B. Malyutov, V. D. Myatlev Minimax designs for a test of fit of a linear model on a cube and a ball. Summary Suppose the measurements on the set X (which in our case is either a cube or a ball) are used to check the adequacy of a linear model £(x)*e0 +X e£Xj. by V (oft ) test* We assume that the true model is quadratic 9(x) - 0o+ £0tXt + Z. Gtjxtxj It is well-kno*n that the power of the F (0Г it ) test depends solely on l. he noncentrality parameter 0 . The value of $ depends upon unknown true coefficients, so we propose to use designs maximizing the minimal over the set 12 ®ч ~ i value of 0 «We call these designs minimax because in our case min and max may be placed in opposite order. It is proved that the optimal value of a is equal to -\/b for a cube J x-/ 11 , t = i, ... , к and (k-H)~2 for a ball £Xi S 1 • Minimax designs for a ball are found in the same set in which the well-known central composite designs are located. Minimax designs for a cube are found in the set of centres of r-dimensional faces of a cube for some values of Г , 2-2522 § I. ВВЕДЕНИЕ Co времени появления статьи / I / общепринято, что при поиске оптимальных условий работы некоторой системы с помощью экспериментов не имеет смысла проводить пассивный эксперимент по описанию поверхности отклика полиномом высокой степени во всей допустимой области. Оценки коэффициентов, как правило, оказываются сильно коррелированными, а уравнение трудно интерпретировать, не говоря уже о необходимости проведения огромного числа экспериментов. Рекомендуется вместо этого проводить активный эксперимент, состоящий из нескольких стадий. На нервой стадии достаточно приближать поверхность отклика линейной функцией для нахождения градиента. Только после нахождения почти стационарной области рекомендуется использовать уравнение второго порядка. Переход к уравнению второго порядка подразумевает, что линейная модель перестает быть адекватной. Последнее обстоятельство обычно / 2 / проверяется по взаимодействиям, оцениваемым с помощью полного факторного эксперимента (п. ф. э. ) и постановкой дополнительных измерений в центре п. ф. э. , которые вместе с п. ф. э. дают возможность оценить сумму коэффици- ентов при ЭСС . этот удобный и интуитивзо понятный способ обладает существенным недостатком. Именно, когда сумма ко- 2 эффициентов при ОСс мала, если даже сами коэффициенты не малы, такой способ не замечает неадекватность линейной модели, потому что параметр нецентральности F - критерия для этого случая проивводьао мал. Т. к. коэффициенты истинной модели нам неизвестны, то более оправдано использовать планк, мощность которых не слишком мала для произвольной поверхности отклика. 4 предположим, что истинная зависимость П (х) является полиномом второго порядка 2(x)=L6tjxixj+reiXi+e0 , х1) что является оиычно хорошим приолишением при небольшом взаимном удалении точек измерений.