Читать онлайн «Об одной теорем А.Я. Хинчина»

8 Об одной теореме А. Я. Хинчина Сформулирована и доказана теорема об аппроксимации функ- шгк* одной переменной любой оумматорной функции большого числе переменных* Аппроксимация (в смысле интеграла от квадрата разности)- становится все более точной по мере увеличения числа переменных* ВВЕДЕНИЕ А. Я. Хинчин в своих исследованиях по математическим осно- ' ваниям статистической механики систематически использовал репрезентативность среднего значения сутшаторных величин* Этот факт является, по существу! теоремой анализа и в своих лекциях» к сожалению не опубликованных, А. Я. Хивчин особенно подчеркивал желательность освобождения от вероятностной терминологии, Задача заметкЯ-формулировка теоремы анализа#равносильной факту репрезентативности I*' среднего и установления связи этой теоремы с обобщенной'2' формулой Больцмана, пЛ. Сумматорные функции «Разбиение на доминанту и флуктуанту В книге Хинчина^™ все термины (кроме термина "сумматор» ная функция") взяты из термодинамики и статистической физики* Однако,за четверть века, прошедшие со времени выхода этой книги, стало ясно, что значение ее основных идей существенно 4 выходят за рамки узкой задачи обоснования статистической механики* Это самостоятельная область математического анализа - функции большого числа переменных со своими задачами и методами, но сохранившая, к сожалению, чужую терминологию, неминуемо приводящую к путанице и противоречиям* Полная: смена всей терминологии - это, конечно, крайность. Будет трудно понимать даже простые вещи только потому, что они оказаны непривычшши словами. С другой стороны такие слова, как "вероятность" и "энтропия" настолько перегружены историей науки, случайными х', превходящими ассоциациями, что должны быть решительно изгнаны из употребления. Новые же термины желательно вводить только в случае крайней необходимости. Автору кажется, что введение терминов "доминанта" и "флуктуанта" не слишком дорогая цена за простое объяснение глубокой идеи А. Я. Хннчина. Обычно считается (и, вообще говоря, это правильно), что оложность отроения функции растет по мере увеличения числа ее аргументов. х/ Лебег ^пишет "Если бы пределА был назван "тарарабумбней" круга, то вряд ли кто-нибудь позволил бы себе вывеотя яз не$ величину тарарабумбий сектора я оегмента, но делать это разрешают себе, когда вместо олова тарарабумбия употребили слово площадь! Это тягчайшее преступление против здравого смысла". Стоят добавить* что это детские игрушки по сравнению с тем, как измываются над замечательным понятием энтропия» 8 Тем более неожиданна идея Хинчина. Для многих классов функций, важных для математического естествознания, имеет место прямо противоположная ситуация - они сводятся к функциям одной переменной В • Суть дела, разумеется, именно в выделении правильного класса функций. Этот класс должен быть достатотао узким, чтобы можно бнло надеяться на существование нетривиальных закономерностей. Но, вместе с тем, он должен быть настолько широким, чтобы эти закономерности имели общую значимость» Наша ближайшая задача - точная формулировка и доказательство принципе Хштаяа для самого простого клаооа - сумматор- ннх функций.