Читать онлайн «Краткий конспект лекций по математической статистике»

К РАТКИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ для студентов 2 курса ЭФ, отделение «математические методы и исследование операций в экономике» (1 семестр 1997-98 уч. года) Чернова Н. И. В теории вероятностей рассматриваются случайные величины с заданным распределением или слу- чайные эксперименты, свойства которых целиком известны. Предмет теории вероятностей — свойства и взаимосвязи этих величин (распределений). Но часто эксперимент представляет собой черный ящик, выдающий лишь некие результаты, по ко- торым требуется сделать вывод о свойствах самого эксперимента. Наблюдатель имеет набор числовых (во всяком случае, их всегда можно сделать числовыми) результатов, полученных повторением одного и того же случайного эксперимента в одинаковых условиях. Примером такой серии экспериментов может служить социологический опрос, набор экономических показателей или, наконец, последовательность гербов и решек при тысячекратном подбрасывании монеты. При этом возникают следующие вопросы: 1) Если мы наблюдаем одну случайную величину — как по набору ее значений в нескольких опытах сделать как можно более точный вывод о ее распределении? 2) Если мы наблюдаем одновременно проявление двух (или более) признаков, т. е. имеем набор значе- ний нескольких случайных величин — что можно сказать об их зависимости? Есть она или нет? А если есть, то какова эта зависимость? Часто бывает возможно высказать некие предположения о распределении, спрятанном в «черном ящике», или о его свойствах. В этом случае по опытным данным требуется подтвердить или опроверг- нуть эти предположения («гипотезы»). При этом надо помнить, что ответ «да» или «нет» может быть дан лишь с определенной степенью достоверности, и чем дольше мы можем продолжать эксперимент, тем точнее могут быть выводы (а это далеко не всегда возможно). Итак, о (математической) статистике имеет смысл вспоминать, если а) имеется случайный эксперимент, свойства которого частично или полностью незвестны, б) мы умеем воспроизводить этот эксперимент в одних и тех же условиях некоторое (а лучше — какое угодно) число раз. 1. 2 Основные понятия выборочного метода Пусть ξ : Ω → R — случайная величина, наблюдаемая в случайном эксперименте. Предполагается, что вероятностное пространство задано (и не будет нас интересовать). Будем считать, что проведя n раз этот эксперимент в одинаковых условиях, мы получили числа X1 , X2 , . . . , Xn — значения этой случайной величины в первом, втором, и т. д. экспериментах. Пусть случайная величина ξ имеет некоторое распре- деление F, которое нам частично или совсем неизвестно. Рассмотрим подробнее вектор X ~ = (X1 , . . . , Xn ), называемый выборкой (случайной выборкой). В конкретной серии экспериментов выборка — это набор чисел.