Читать онлайн «Решеточные модели статистической физики»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯРОСЛАВА МУДРОГО А. Ю. Захаров РЕШЁТОЧНЫЕ МОДЕЛИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Учебно-методическое пособие ВЕЛИКИЙ НОВГОРОД 2006  УДК 530. 1+531 (075. 8) Печатается по решению З-38 РИС НовГУ . Рецензенты: доктор физико-математических наук А. Л. Удовский кандидат физико-математических наук, доцент М. М. Ковалевский Захаров А. Ю. З-38 Решёточные модели статистической физики: Учеб. –метод. пособие / НовГУ им. Ярослава Мудрого. — Великий Новгород, 2006. — 74 с. Пособие состоит из трёх глав. Первая глава содержит точные аналитические решения нескольких решёточных моделей статистической физики (одномерные модели Изинга и Гайзенберга, модель системы с бесконечным радиусом взаимодействия, а также сфери- ческая модель Берлина-Каца). Вторая глава посвящена методу ренормгруппы в теории фазовых переходов в решёточных моделях. Третья глава посвящена исследованию фе- номенологических моделей решёточного типа (решёточная и обобщённая решёточная модели, связь между решёточными моделями и приближением Гинзбурга-Ландау). Пособие может быть использовано студентами, аспирантами и преподавателями в курсах статистической физики, физики конденсированного состояния и физической хи- мии. Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Программы “Университеты России” (проект ур. 01. 01. 183) УДК 530. 1+531 (075. 8) c Новгородский государственный ° университет, 2006 c А. Ю. Захаров, 2006 °  3 Содержание 0. 1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 Точно решённые решёточные модели статистической физи- ки 7 1. 1 Одномерная модель Изинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1. 1. 1 Постановка проблемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1. 1. 2 Одномерная открытая изинговская цепочка при отсут- ствии внешнего поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1. 1. 3 Одномерная замкнутая изинговская цепочка во внеш- нем поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1. 1. 4 Корреляционные функции в модели Изинга . . . . . . 13 1. 2 Одномерная классическая модель Гайзенберга . . . . . . . . 15 1. 3 Модель с межатомным потенциалом бесконечного радиуса . 19 1. 3. 1 Резюме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1. 4 Гауссова модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1. 4. 1 Вычисление детерминанта матрицы Q . . . . . . . . . 27 1. 4. 2 Одномерный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1. 4. 3 d-мерный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1. 4. 4 Обращение матрицы Q . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1. 4. 5 Термодинамика гауссовой модели в окрестности кри- тической точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1. 5 Сферическая модель Берлина-Каца . . . . . . . . . . . . . . 36 1. 5. 1 Статистическая сумма сферической модели . . . . . . 36 1. 5. 2 Уравнение состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1. 5. 3 Упрощение уравнения состояния . . . . . . . . . . . . 42 1. 5. 4 Резюме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2 Метод ренормгруппы: принципы и простейшие применения 45 2. 1 РГ исследование одномерной модели Изинга . . . . . . . . . 45 2. 2 РГ анализ двумерной модели Изинга . . . . . . . . . . . . . 47 2. 3 Резюме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Феноменологические решёточные модели 53 3. 1 Решёточная модель бинарного твёрдого раствора . . . . . . 53 3. 1. 1 Приближение среднего поля в решёточной модели . . 55 4 3. 1. 2 Ветвление решений среднеполевых уравнений . . . . 57 3. 2 Обобщённая решёточная модель — основные идеи и соотно- шения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3. 2. 1 Переход к теории Гинзбурга-Ландау . . . . . . . . . . 63 3. 2. 2 Гетерогенные состояния в бинарном растворе . . . . . 65 3. 2. 3 Составы сосуществующих фаз . . . . . . . . . . . . . 66 3. 2. 4 Концентрационный профиль . . . . . . . . . . . . . . 68 3. 3 Резюме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69  5 0. 1 Введение Статистическая механика имеет целью установление связи между свой- ствами макроскопических систем и свойствами частиц, образующих эти си- стемы.