Читать онлайн «Топологические полуполя»

Μ. Я. АНТОНОВСКИЙ, В. Г. БОЛТЯНСКИЙ, Т. А. САРЫМСАКОВ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОЛУПОЛЯ ИЗДАТЕЛЬСТВО СамГУ Ташкент 1960 Ответственный редактор проф. С. X. Сираждинов В этой и нескольких следующих работах мы предполагаем изложить некоторые вопросы, связанные с изучением и приложением пространств функций. Эти вопросы возникли, отчасти, в результате изучения эргодических теорем теории вероятностей. В настоящей, вводной, статье вводится основное для всего последующего понятие топологического полуполя. В первом параграфе мы следуем, в основном, идеям, изложенным в статье М. Г. Крейна и М. А. Рутмана [5] и книге Л. В. Канторовича, Б. 3. Вулиха, А. Г. Пинскера [3]. Отличительной чертой нашего изложения является то, что мы с самого начала используем умножение, требуя его частичную обратимость (отсюда — название „полуполе"). Кроме того, мы не предполагаем a priori рассматриваемое пространство £ линейным топологическим пространством, хотя впоследствии (§ 2) выясняется, что из наших аксиом это следует. Второй параграф содержит исследование строения полу- полей. Доказывается, в частности, теорема о вложимости произвольного полуполя в „тихоновское" полуполе #д. Третий параграф содержит некоторые приложения к функциональному анализу. Предложения, доказываемые здесь, носят, в основном, иллюстративный характер. Их назначение — показать возможность и целесообразность привлечения полуполей к вопросам функционального анализа. Детальное изложение некоторых разделов функционального анализа на основе понятия полуполя авторы предполагают дать в последующих публикациях. 5 § 1. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПОЛУПОЛЕ И ЕГО СВОЙСТВА. 1. Топологическое полуполе. Коммутативное ассоциативное топологическое кольцо* Ε мы будем называть топологическим полуполем, если в Ε выделено некоторое множество К, удовлетворяющее перечисляемым ниже условиям** (аксиомам топологического полуполя): 1. К + КС1Ц***, К-НаК; 2. К-К=Е; 3*_***. Если МаК— такое множество, что пересечение Π (К+х) непусто, то существует такой элемент χ е М__ у ζ К, что _ П (К+х)=К+у; χ е Μ 4. При α, β ς Я уравнение ох = § имеет в Η хотя бы одно решение \ 5. Пересечение К Π (— К) содержит только нуль (нулевой элемент кольца Е; мы будем обозначать его знаком 0). 6. Обозначим через Fa(a£E) совокупность всех элементов χζΕ, удовлетворяющих условию α χ g К. Тогда совокупность всех множеств вида β + Fa (α, β ς Ε) образует базисную систему замкнутых множеств топологического пространства Е. Сделаем некоторые замечания относительно аксиомы 6. Легко видеть, что всякое множество Fa замкнуто. В самом деле, пусть JcgFe, т. е. α λ; ζ /С; тогда элемент ах принадлежит открытому множеству Е\К, и потому существуют такие окрестности U и V элементов α и_х соответственно, что U- VczE\R и, подавно, a-VC2E\K. Но последнее включение означает, что ни один элемент из V не принад- * В этой работе всюду топология кольца Ε предпола!ается хаус- дорфовой, хотя в последующем мы будем рассматривать и нехаусдорфо- вы топологии, соответственно изменяя аксиому 6. ** Если А и В — произвольные подмножества кольца Е, то через А + В мы будем обозначать множество всех элементов вида а + bt где аеЛ, b е В; аналогичный смысл имеют обозначения А — В, А -В и т.