Читать онлайн «Избранные задачи повышенной сложности по математике»

^3 s IS 3 ^3 в помощь АБИТУРИЕНТАМ И СТУДЕНТАМ В. П. СУПРУН ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ повышенной сложности по математике ■^з 1одьа sin а (Ч+яУИ+ГМ в помощь АБИТУРИЕНТАМ И СТУДЕНТАМ В. П. СУПРУН ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ повышенноп сложности по математике В МИНСК «ПОЛЫМЯ» 1998 УДК 51 (076. 1) (075. 4) ББК22. 11Я729 С 89 ISBN 985-07-0233-8 О В. П. Супрун, 1998 ОТ АВТОРА При решении задач, предлагаемых на вступительных письменных экзаменах по математике, могут быть использованы любые известные абитуриентам математические методы. При этом разрешается пользоваться и такими, которые не изучаются в общеобразовательной школе. Как правило, применение «нестандартных» методов позволяет более эффективно решать многие задачи повышенной сложности Многолетний опыт работы автора с абитуриентами, а также анализ задач, предлагаемых на вступительных экзаменах по математике в Белгосуниверситете и в Белорусском государственном экономическом университете на протяжении последних лет, свидетельствует о необходимости самостоятельного изучения абитуриентами математических методов, в основе которых лежат понятия и положения, не входящие в программу по математике общеобразовательной школы. К таким понятиям относятся, например, неравенства Коши, Коши—Буняковского и Бернулли, бином Ньютона п-й степени, а также метод математической индукции. В настоящем учебном пособии представлено более 100 задач, решение которых осно- вано на применении указанных выше неравенств и метода математической индукции. Некоторые уравнения, неравенства и тождества эффективно решаются на основе выделения полного квадрата или применения тригонометрической подстановки. В подготовке настоящего учебного пособия к печати активное участие принимал инженер-программист Белорусского государственного экономического университета Андрей Максимович Седун, за что автор приносит ему глубокую благодарность. ПРИМЕНЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ Многие задачи повышенной сложности (из различных разделов математики) эффективно решаются с помощью неравенств Коши, Бернулли и некоторых других, с которыми выпускник школы не всегда бывает знаком. Рассмотрим наиболее важные из них. Неравенство Кошв. Пусть а\ £ 0, а2 ^ 0>... , а* £ 0. Тогда имеет место а\+а2 + '"+ак ^tl /1ч где кЪ. 2. Причем равенство в неравенстве Коши достигается лишь в том случае, когда а\ = а\ = ... = я* • В частности, если к = 2, то (1) принимает вид ^р-*^. (2) Если положить а\-а ио2=-,тоиз(2) получаем а а + -*2, (3) а где а>0. Нетрудно установить, если а < О, то fl + i^-2. (4) а 5 Неравенства Бернулли. «Классическое» неравенство Бернулли формулируется следующим образом: для х> -1 и произвольного натурального п имеет место (} + х)п7>\ + пх. (5) Причем равенство в (5) достигается при х = О или w = l. Кроме (5) существует еще и более общее неравенство Бернулли, которое содержит в себе два неравенства: если р < О или р > 1, то (\ + x)pZ\ + px, (6) если р < О < 1, то (\ + х)р<\ + рх, (7) где х>-\.