Читать онлайн «Задачи по алгебре»

Э. Б. Винберг Е. Е. Демидов О. В. Шварцман ПО МКНМУ ф мцнмо Э. Б. Винберг Е. Е. Демидов О. В. Шварцман ПО Под редакцией Э. Б. Винберга МОСКВА* 1998 МКНМУ ф УРСС МЦНМО Винберг Э. Б. , Демидов Е. Е. , Шварцман О. В. Задачи по алгебре. М : МЦНМО, МК НМУ, «УРСС»,1998 — 56 с. Задачи сборника предлагались на семинарах по курсу алгебры, прочитанному проф. Э. Б. Винбергом в Математическом Колледже Независимого Московского Университета в 1992-1994 гг. Издательство «УРСС». Ш672, г Москва, ул Новокасииская, 27/174 Лицензия ЛР № 063377 от 23. 05 94 г Подписано к печати 20. 02. 98 Формат 60x84/16. Печ л 3,5 Зак. № Отпечатано в ТОО «Типография ПЭМ». 121471. г Москва, Можайское шоссе, 25 ISBN 5-88417-134-Х © МЦНМО, МК НМУ, 1998 © Издание: «УРСС», 1998 Оглавление 1. Комплексные числа, многочлены, формальные ряды 7 2. Элементарная арифметика 11 3. Теория Галуа и теория чисел 14 4. Линейная алгебра 19 Определения. Базисы. Сопряженное пространство 19 Билинейные и квадратичные формы 21 Линейные отображения и матрицы 22 Тензоры 27 5. Векторные пространства с дополнительными структурами . . 29 Геометрия 30 6. Кольца и модули 31 7. Абелевы группы 33 8. Алгебры 34 9. Гомологическая алгебра 37 10. Группы 39 11. Представления 43 12. Группы и алгебры Ли 47 13. Представления группы кос 47 14. Конечномерные представления GLn(C) 49 15. Довески 54 3 Предисловие Нижеследующие задачи предлагались на семинарах по курсу алгебры, прочитанному проф. Э. Б. Винбергом в Математическом Колледже Независимого Московского Университета в 1992-1994 гг. Разумеется, студентам предлагались также задачи из широко известных сборников Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского, И. В. Проскурякова, под ред. А. И. Кострикина и других. Некоторые такие задачи приведены и здесь. При составлениии настоящего задачника авторы старались следовать двум принципам: свести к минимуму чисто вычислительные и стандартные задачи, а кроме того, по возможности, объединить задачи в циклы, последовательное решение которых помогло бы студенту овладеть идеей какой-либо конструкции или доказать теорему, отсутствующую в распространенных учебниках. Этим объясняется наличие в задачнике «разносолов», вроде алгебр Хопфа, инвариантов узлов или представлений полной линейной группы. 5 иоозначения Zn — кольцо вычетов по модулю п Zp — кольцо целых р-адических чисел Qp — поле р-адических чисел vp(x) — показатель, с которым простое число р входит в каноническое разложение рационального числа х ¥q — поле из q элементов Spec А — спектр коммутативного кольца А f ~ 9 — эквивалентность квадратичных форм Рп — пространство многочленов степени не выше п Рп — n-мерное проективное пространство Ап — n-мерное аффинное пространство [Л, В] = АВ - В А — коммутатор элементов кольца Gton — подгруппа кручения группы G Ghee — свободная подгруппа абелевой группы G rk — ранг (матрицы или модуля) 6 1. Комплексные числа, многочлены, формальные ряды 1. 1. Вычислить в алгебраической форме: (5-ht)(7-6t) (1 + Q5 (l-h3t)(8-t) 3 + 1 ' (1-031 (2 + 02 1. 2.