Читать онлайн «Равновеликие и равносоставленные фигуры»

ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ВЫПУСК 22 В. Г. БОЛТЯНСКИЙ РАВНОВЕЛИКИЕ И РАВНОСОСТАВЛЕННЫЕ ФИГУРЫ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1956 11-3-1 Болтянский Владимир Григорьевич. Равновеликие и равносоставленные фигуры. Редактор А. Т. Цветков. Техн. редактор С. Л. Ахламов. Корректор С. Л. Емельянова. Сдано в набор 20/IV 1956 г. Подписано к печати 1S/VI 1956 г. Бумага 84 X 108'/aj. Физ. иеч. л. 2,00. Условн. печ. л. 3,28. Уч. -изд. л. 3,40. Тираж 40 000 экз. Т-04428. Цена книги 1 р. Заказ № 1675. Государственное издательство технико-теоретической литературы Москва, В-71, Б. Калужская, 15 Министерство культуры СССР. Главное управление полиграфической промышленности. Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова. Москва, Ж-54, Валов*», 28. ПРЕДИСЛОВИЕ Первый параграф предлагаемой вниманию читателя книжки посвящен доказательству следующей теоремы, найденной мате- математиками Бояй и Гервином: если два многоугольника имеют одинаковую площадь, то один из них можно разбить на такие части, из которых возможно составить второй многоугольник. Более краткая формулировка: если два много- многоугольника равновелики, то они равносоставлены. Изучению некоторых вопросов, связанных с равносоставлен- равносоставленностью фигур, посвящена вся книжка в целом. Она разде- разделена на две главы, в первой из которых изучаются много- многоугольники, а во второй — многогранники. Сформулированная выше теорема является одной из основных в первой главе. Во второй главе наиболее интересна теорема Дена: суще- существуют многогранники, которые имеют одинаковый объем (равновелики), но не являются равносоставленными. Доказательству упомянутых двух теорем, ставших уже классическими, посвящена книга Вениамина Федоровича Кагана A869—1953) «О преобразовании многогранников». Эта неболь- небольшая ярко написанная книжечка пользуется заслуженной известностью. Вместе с тем, доказательство теоремы Дена в книге В. Ф. Кагана несколько неэлементарно: оно исполь- использует понятие о непрерывности, свойства систем линейных уравнений и т. п. В последнее время швейцарскими геометрами были по- получены новые результаты, углубляющие теоремы Бояй — Гер- вина и Дена. Существование этих новых результатов, а также тот факт, что книга В. Ф. Кагана стала уже редкостью, побу- побудили автора написать новую книгу по этому вопросу. Теоремы Бояй — Гервина и Дена доказаны соответственно в § 1 и § 5. Приведенные здесь доказательства значительно отличаются от имеющихся в книге В. Ф. Кагана. В частности, 1* 3 доказательство теоремы Дена Отличается большей элементар- элементарностью и простотой. В §§ 2—4, 6 приведены результаты самых последних лет (они принадлежат Хадвигеру, Глюру, Сидлеру; исключение составляет теорема, приведенная в § 4, которая, повидимому, является новой). Наиболее простыми в книжке являются три-четыре первых параграфа. Для их понимания требуются знания в объеме примерно восьми классов средней школы. Вместе с тем, эти параграфы охватывают единый круг вопросов, связанных с измерением площадей многоугольников.