Читать онлайн «Численные алгоритмы классической матфизики. XXX. Вычисление собственных значений оператора Лапласа в многоугольной области»

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ им. А. Ю. ИШЛИНСКОГО С. Д. Алгазин ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МАТФИЗИКИ. XXX. Вычисление собственных значений оператора Лапласа в многоугольной обла- сти. Препринт № 970 Москва 2011 г. Аннотация. Описывается методика численного вычисления собственных чисел оператора Лапласа в многоугольнике. В качестве примера рассмотрена L – образная область. Строится конформное отображение круга на эту область при помощи интеграла Кри- стоффеля-Шварца. В круге задача решается по ранее разработанной автором (сов- местно с К. И. Бабенко) методике без насыщения. Вопрос состоит в том, применима ли эта методика к кусочно-гладким границам (конформное отображение имеет на границе особенности). Проделанные вычисления показывают, что можно вычислить около 5 собственных значений оператора Лапласа в этой области с двумя-тремя зна- ками после запятой. Ключевые слова: Собственные значения оператора Лапласа, интеграл Кристоффеля-Шварца, численный алгоритм без насыщения. The summary. The technique of a numerical evaluation of eigenvalues of an operator of Laplace in a poly- gon is described. As an example it is considered L - figurative area. The circle conformal mapping on this area by means of an integral of Christoffel-Schwarz is under construction. In a circle the problem dares on earlier developed by the author (together with K. I. Babenko) a technique without saturation. The problem consists in, whether this technique to piecewise smooth boundaries (the conformal mapping has on singularity boundary) is applicable. The done evaluations show that it is possible to calculate about 5 eigenvalues of an operator of Laplace in this area with two-three signs after a comma. Keywords: Eigenvalues of an operator of Laplace, an integral of Christoffel-Schwarz, nu- merical algorithm without saturation. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований. Проект № 11-01-00833-а 055(02)2 Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН 2011 2  Введение. В этом препринте разработаны практические алгоритмы для трёх классических спектральных и краевых задач: Дирихле, Неймана и смешанной для оператора Лапла- са в области с кусочно-гладкой границей. Для дискретизации названных выше задач используется глобальная интерполяционная формула для функции двух переменных в круге. Задачи для уравнения Лапласа, рассматриваемые в одноcвязной области Г с кусочно-гладкой границей дГ, конформным отображением задача сводятся к кругу. Причём в описанных ниже алгоритмах конформное отображение круга на много- угольник вычисляется по методике [1]. Отметим, что для численного построения кон- формного отображения круга на многоугольник интегралом Кристоффеля-Шварца имеются надёжные алгоритмы1.