Читать онлайн «О неподвийных точках в анализе»

МЕТОД НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК В АНАЛИЗЕ. В. 'В. Немыцкий. § 1. Введение. Теоремы существования в анализе появились с XIX в. , когда, с одной стороны, стали критически пересматривать основные математические факты и, с другой, потребность физических теорий заставляла математиков создавать новые математические аппараты и давать их обоснования. Еоши был первым математиком, который доказал теорему существования для системы диференциальных уравнений с аналитическими правыми частями, т. е. для того класса, который, как казчлооь тогда, обнимал все случаи, встречающиеся в приложениях Метод, развитый Коши (метод мажорант, метод пределов),, заключается в том, что разыскивают степенной ряд, формально удовлетворяющий данному уравнению, строят некоторое уравнение сравнения, такое, что решение этого уравнения представляет собой сходящийся степенной ряд, коэфициенты которого соответственно больше коэфициентов формального ряда. Этим доказывается сходимость формального ряда, а, следовательно, и существование решения системы. Метод мажорант имеет широкое применение в различных вопросах анализа, и, пожалуй, наиболее блестящие теоремы получены именно таким образом — укажем на теорему Ковалевской о существовании решения системы диферен- цнальных уравнений в частных производных и на теорему Пуанкаре о разложимости решения обыкновенного диференциального уравнения по степеням параметра, входящего в цравую часть уравнения. Метод мажорант и до сих пор употребляется при доказательствах различных теорем существования (см. , например, работу Шаудера, указанную в сноске 3) к стр. 168). Метод мажорант получил в дальнейшем развитие в работах Перрона. Перрон, ваяв основную идею Коти об уравнениях сравнения, отказался от ее лреведетая ааередотмм формальных степенных рядов и пытался в каждом отделят* «атч» шрочь носледовательноеть . верхних" и „нижних" функций, между котернн заключено решение заданного уравнения, доказывая затем существование общего предела для этих последовательностей; тем самым доказывалось существование решения. Перрон и его последователя, например, у вас в СССР И. Г. Петровский, Н. С. Пискунов и др. , приложили этот метод к доказательству существования решения системы обыкновенных диференциальных уравнений, а также к ряду нелинейных задач для уравнений в частных производных. Как было показано акад. Чаплыгиным, акад. Лузиным и Л. Ю. Пановым, разыскание „верхних, 142 В. В. 1НЕМЫЦКЙЙ и „нижних" функций в ряде случаев может быть выполнено вполне эффективно и служить способом приближенного решения как интегральных, так и диферен- циальных уравнений. Второй метод для доказательства теорем существования был предложен Пикаром; он по настоящее время носит название метода Пикара или метода последовательных приближений. Метод Пикара состоит в том, что мы строим ряд, который должен давать решение, не сразу, как в методе формальных разложений, а постепенно, шаг за шагом, начиная от начальных условий задачи, причем самый способ построения ряда носит характер внесения все новых поправок в уже полученные приближенные результаты.