Читать онлайн «Численные алгоритмы классической матфизики. XXIV. h-матрица - новый математический аппарат для дискретизации многомерных уравнений математической физики»
Автор Алгазин С.Д.
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ им. А. Ю. ИШЛИНСКОГО
С. Д. Алгазин
ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ КЛАССИЧЕСКОЙ
МАТФИЗИКИ. XXIV. h-матрица – новый математический аппарат для дискретизации
многомерных уравнений математической физики. Препринт № 902
Москва 2009 г. Аннотация. В работе рассматривается новый подход к дискретизации уравнений
математической физики. Его суть состоит в том, что дискретизация двумерной
задачи сводится к дискретизации одномерной задачи, а дискретизация
трёхмерной задачи сводится к дискретизации двумерной задачи. Рассматриваются многочисленные примеры. The summary. In operation the new approach to discretization of the equations of
mathematical physics is considered. Its essence consists that discretization of the two-
dimensional task is reduced to discretization of the one-dimensional task, and
discretization of the three-dimensional task is reduced to discretization of the two-
dimensional task. Numerous examples are considered. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований. Проект № 09-08-00011-a.
055(02)2 Институт проблем механики РАН 2009
2
Оглавление
Введение. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4
I. Уравнение Лапласа. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . 5
1. Задача Дирихле. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 6
а) h – матрица. Определение и свойства... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . 6
b) Дискретизация, основанная на свойствах h-матрицы. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . 8
c) Применение быстрого преобразования Фурье для умножения h- матрицы на
вектор... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . 9
d) Высокоточные вычисления собственных значений. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 10
2. Смешанная задача. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . 13
3. Задача Неймана. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 16
II. Обобщение понятия h- матрицы. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 19
§1. Уравнения общего вида с разделяющимися переменными. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 19
§2. Дальнейшие обобщения. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 20
§3.
