Читать онлайн «Сравнения»

С. А. Степанов, кандидат физико-математических наук СРАВНЕНИЯ ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ» Москва 1975 Степанов С. А. С79 Сравнения. М. , «Знание», 1975 64 с. (Новое в жизни, науке, технике. Серия «Математика, кибернетика», II. Издается ежемесячно с 1967 г. ) Брошюра знакомит читателя с основами теории сравнений, одной из интересных и важных областей математического знания. Доступное-изложение современного состояния теории сравнений стало возможно благодаря работам автора брошюры, создавшего яовый арвфнетическнй метод доказательства всех ее результатов. Ранее это было под селу лишь сложному аппарату алгебраической геометрии, 20200 51 © Издательство «Знание», 1975 f, ПРЕДИСЛОВИЕ Теория сравнений — наука о целых числах, рассматриваемых в их связи с остатками от деления на фиксированное натуральное число, называемое модулем. Созданная трудами Ферма, Эйлера, Лежандра, Лагранжа, К. Гаусса и Дирихле теория сравнений обогатила математику многими новыми понятиями; ее идеи и методы давно вышли за пределы теории чисел и проникли в алгебру, алгебраическую геометрию, теорию кодирования, кибернетику, вычислительную технику. Возникновение теории сравнений связано с изучением диофантовых уравнений. Ясно, что для разрешимости диофантова уравнения необходима разрешимость соответствующего сравнения по любому модулю. Во многих случаях оказывается, что локальная разрешимость, т. е. разрешимость соответствующего сравнения по всем модулям, является также и достаточным условием для разрешимости диофантова уравнения. Например, справедлива следующая теорема, доказанная Лежандром. Теорема. Если а, Ь, с — попарно взаимно простые целые числа, свободные от квадратов и не все одного знака, то уравнение ах3 + by2 + сг% = О разрешимо в целых числах тогда и только тогда, когда разрешимы сравнения хг ss — be (mod a) уг S3 — са (mod b) za s= — ab (mod c) Разрешимость указанных в теореме сравнений для каждого конкретного набора чисел а, Ь, с можно установить хотя бы простым перебором. Следовательно, теорема Лежандра 3 дает простой и эффективный критерий разрешимости дио- фантова уравнения ах2 + by2 + сгг = 0. Другим примером может служит такое утверждение: целое число вида 4k + 3 нельзя представить суммой двух квадратов целых чисел. Действительно, если бы это было возможно, то было бы разрешимо сравнение хг + #2 = 3 (mod 4). Но простая проверка показывает, чтр последнее сравнение не имеет решений, и мы приходим к противоречию. Рассмотрение задач подобного рода в дальнейшем привело Гензеля к введению нового типа чисел, названных им р-адическими числами. В настоящее время р-адические числа являются одним из основных инструментов теории чисел и смежных с ней разделов математики. Другим важным понятием, появлением которого мы обязаны теории сравнений, являются конечные поля (поля Галуа). Сфера их применения с каждым днем расширяется и охватывает не только математику, но и физику, кибернетику, радио и вычислительную технику. Как самостоятельная наука теория сравнений имеет свои собственные трудные и интересные проблемы.