Читать онлайн «Нестандартный, или неархимедов, анализ»

НОВОЕ В ЖИЗНИ, НАУКЕ, ТЕХНИКЕ ПОДПИСНАЯ НАУЧНО-ПОПУЛЯРНАЯ СЕРИЯ МАТЕМАТИКА, КИБЕРНЕТИКА 8/1983 Издается ежемесячно с 1967 г. В. А. Успенский НЕСТАНДАРТНЫЙ, ИЛИ НЕАРХИМЕДОВ, АНАЛИЗ Издательство «Знание» Москва 1983 ББК 22. 16 У 77 Владимир Андреевич УСПЕНСКИЙ — доктор физико-математических наук, профессор кафедры математической логики механико-математического факультета Московского университета. Специалист в области оснований математики, теории алгоритмов и математической логики, автор ряда популярных брошюр. Рецензент: А. А, А р с е н ь е в, доктор физико-математических наук Успенский В. А. У 77 Нестандартный, или неархимедов, анализ. — М. : Знание, 1983. — 64 с. — (Новое в жизни, науке, технике. Сер. «Математика, кибернетика»; № 8). 11 к. В популярной форме даются начальные представления о новом научном направлении — нестандартном анализе, в основе которого лежат математические модели вещественной прямой с постоянными бесконечно малыми величинами в отличие от переменных бесконечно малых в традиционном математическом анализе. Брошюра рассчитана на студентов, преподавателей, научных работников, лекторов и слушателей народных университетов, а также на всех, интересующихся новыми идеями в математике. 1702050000 ББК 22. 16 517. 2 © Издательство «Знание», 1983 г. К ЧИТАТЕЛЮ Прежде чем начать чтение этой брошюры, вы, возможно, захотите узнать: а зачем, собственно говоря, нужен нестандартный анализ? Почему нас перестал устраивать традиционный («стандартный») анализ, верно служивший нашим учителям? Нужно ли ломать добротное здание современной математики, чтобы на его развалинах построить нечто загадочное и эфемерное по еще не вполне ясному плану? Должен сразу же успокоить вас: нестандартный анализ вовсе не претендует на то, чтобы заменить, «свергнуть» уже имеющуюся «стандартную» математику и воцариться на ее месте — его притязания гораздо скромнее. Он возник в 1960 году, когда Абрахам Робинсон, специалист по теории моделей, понял, каким образом методы математической логики позволяют «оправдать» классиков математического анализа XVII и XVIII вв. , поставив на строгую основу их рассуждения, использующие «бесконечно большие» и бесконечно малые величины. Таким образом, с самого начала шла речь не о каких-то новых «нестандартных» методах, не имеющих ничего общего с традиционной математикой, а о развитии новых средств внутри стандартной (теоретико-множественной) математики. Нестандартный анализ "остался бы любопытным курьезом, если бы единственным его приложением было обоснование рассуждений классиков математического анализа. К счастью, это не так: он оказался полезным и при развитии новых математических теорий. Нестандартный анализ можно, следуя авторам книги [231, сравнить с мостом, переброшенным через реку. Постройка моста не расширяет доступной нам территории (ведь и раньше можно было попасть на другой берег, обойдя исток реки), но сокращает путь с одного берега на другой. Подобным образом не- 3 стандартный анализ делает доказательства многих теорем короче.