Читать онлайн «Проблемы современной математики. Сборник»

ПРОБЛЕМЫ СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ СБОРНИК (Перевод с английского) ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ» Москва 1975 78 Проблемы современной математики. Сборник. Пер. с англ. М. , «Знание», 1975. 64 с. (Новое в жизни, науке, технике. Серия «Математика, кибернетика», 9. Издается ежемесячно с 1967 г. ) Предлагаемый читателю сборник состоит из трех статей по наглядной геометрии. Первая из них представляет обзор результатов, относящихся к знаменитой задаче о четырех красках, вторая посвящена алгебраическим вопросам, связанным с разбиениями «-мерного пространства, и третья — экстремальной геометрической задаче. Брошюра рассчитана на студентов-математиков младших курсов и лиц, интересующихся математикой. 20201-173 м ^ П 073(02)-75~52-75 5! СОДЕРЖАНИЕ Предисловие 3 Вариации на тему четырех красок. Томас Саати 5 Алгебраические мозаики. С. К. Стейн ... . 41 Изопериметрические проблемы, связанные с мозаиками. Л. Фейеш Тот 55 © Издательство «Знание», 1975 г. ПРЕДИСЛОВИЕ Элементарная, так называемая синтетическая, геометрия, или, как некоторые математики, например Гильберт и Кон-Фоссен, называли ее наглядная геометрия, является одной из красивейших областей математики. Некоторые вопросы математики уже сами собой относятся к наглядной геометрии, например теория многогранников. Сюда же можно отнести всю геометрическую кристаллографию. При изучении других вопросов казалось, что геометрия при их решении не играет никакой роли. Таковыми, в частности, были некоторые важнейшие вопросы элементарной и алгебраической теории чисел, например, теория автоморфизмов квадратичных форм и теория приведения, теория алгебраических единиц и многое другое. Но еще в первой половине прошлого века Гаусс и Дирихле отмечали, что некоторые из этих вопросов, по существу, являются геометрическими. На рубеже XIX и XX веков Минковский и Вороной создали новую большую область — геометрию чисел, в которой многие трудные вопросы теории чисел решаются методами геометрии. Укажем следующий пример: долгое время теорема Дирихле об алгебраических единицах считалась одной из самых трудных теорем всей математики. А сейчас в геометрическом изложении она становится совсем наглядной. В настоящий сборник включены переводы трех статей, относящихся к наглядной геометрии. Первая из них, принадлежащая известному специалисту в прикладных вопросах математики, — это обзор результатов, относящихся к знаменитой задаче о четырех красках, состоящей в следующем. Пусть дана карта некоторой страны, разбитой на области. Верно ли, что всегда хватит четырех красок для того, чтобы раскрасить эти области так, что никакие две 1* 3 соседние по части своей границы области не были одного и того же цвета? Как ни удивительно, ответ па этот вопрос до сих пор неизвестен. Во второй статье излагается одна известная задача, также имеющая долгую историю. Пусть n-мерное пространство заполнено все без промежутков одинаковыми и параллельными n-мерными кубиками, центры которых образуют решетку. Известное предположение Минковского состояло в том, что такое разбиение на кубики всегда устроено так: из кубиков сначала составляем одномерные и параллельные между собой колонки; прикладывая эти колонки друг к другу по целым граням (граням колонок, но не кубиков), составляем бесконечный двумерный слой, в котором любые две соседние колонки одинаково смещены друг по отношению к другу; на этот слой укладываем равные и параллельные ему слои так, что любые соседние слои также одинаково смещены друг по отношению к другу и т.