Читать онлайн «Математика для старшеклассников. Задачи повышенной сложности»

В. П. Супрун МАТЕМАТИКА для СТАРШЕКЛАССНИКОВ ЗАДАЧ с подробными решениями Оглавление От автора 5 Глава 1. Применение нестандарных методов решения уравнений и неравенств 7 § 1. 1. Неравенство Коши 7 § 1. 2. Неравенство Бернулли 8 §1. 3. Неравенство Коши—Буняковского 9 § 1. 4. Бином Ньютона 9 § 1. 5. Модули 10 §1. 6. Тригонометрические преобразования 11 § 1. 7. Логарифмы 12 Глава 2. Задачи, встречающиеся на письменных экзаменах по математике 13 §2. 1. Делимость чисел 13 §2. 2. Вычисление суммы 15 §2. 3. Арифметические вычисления 18 § 2. 4. Алгебраические и тригонометрические преобразования 22 §2. 5. Доказательство неравенств 25 §2. 6. Рациональные уравнения 41 §2. 7. Иррациональные уравнения 56 §2. 8. Уравнения с модулями 84 §2. 9. Системы уравнений 88 §2. 10. Решение неравенств 113 §2. 11. Показательные и логарифмические уравнения ... 118 §2. 12. Показательные и логарифмические неравенства . . 128 §2. 13. Показательные и логарифмические системы 133 §2. 14. Тригонометрические уравнения и системы 136 §2. 15. Тригонометрические неравенства 154 §2. 16. Смешанные уравнения и неравенства 156 §2. 17. Неравенства в геометрии 160 4 Оглавление §2. 18. Геометрические задачи 170 §2. 19. Экстремальные значения функций 173 Глава 3. Метод математической индукции 179 Литература 195 От автора При решении задач, предлагаемых на Централизованном тестировании по математике, а также на вступительных письменных экзаменах, могут быть использованы любые известные абитуриентам методы. При этом разрешается использовать методы, которые не изучаются в общеобразовательной школе (так называемые — нестандартные методы). Как правило, применение нестандартных методов позволяет упрощать решение многих сложных задач школьной математики. Многолетний опыт работы автора с абитуриентами, а также анализ задач по математике, предлагаемых на Централизованном тестировании и на вступительных экзаменах в ведущих ВУЗах Республики Беларусь, свидетельствует об необходимости самостоятельного изучения старшеклассниками математических методов, в основе которых лежат понятия и положения, которые не входят в программу по математике общеобразовательной школы. К таким математическим понятиям относятся, например, численные неравенства Коши, Коши—Буняковского и Бернулли, бином Ньютона n-й степени, а также метод математической индукции. В учебном пособии представлены 300 задач повышенной сложности, решение которых основано на применении указанных выше численных неравенств и метода математической индукции. Некоторые уравнения и неравенства эффективно решаются функциональными методами, выделением полного квадрата, введением параметра или применением тригонометрической подстановки. Настоящее пособие представляет собой существенно исправленное и дополненное переиздание учебного пособия автора «Математика для старшеклассников: задачи повышенной сложности» (Мн. , Аверсэв, 2002). Пособие содержит большое количество новых задач повышенной сложности, многие из которых позаимствованы из материалов Централизованного тестирования и вступительных экзаменов по математике в Белорусском государственном университете (г.