Читать онлайн «Лекции по дифференциальной геометрии и топологии. Тензорный анализ на многообразиях»

Лекции по дифференциальной геометрии и топологии. Тензорный анализ на многообразиях. А. О. Иванов, А. А. Тужилин 30 марта 2004 Содержание 1 Простейшие примеры тензоров 3 1. 1 Касательный вектор 4 1. 2 Дифференциал функции — ковектор 4 1. 3 Линейный оператор 6 1. 4 Билинейная форма 8 2 Общее определение тензора 9 2. 1 Координатное определение тензора 9 2. 2 Инвариантное определение тензора 12 2. 3 Линейное пространство тензоров 15 2. 4 Алгебраические операции над тензорами 17 2. 4. 1 Линейная комбинация 17 2. 4. 2 Перестановка индексов одного типа 17 2. 4. 3 Свертка 19 2. 4. 4 Тензорное произведение 21 2. 4. 5 Опускание и поднятие индекса 24 2. 4. 6 Симметрирование и альтернирование 26 2. 4. 7 Частичное альтернирование 29 3 Внешние дифференциальные формы на многообразии 30 3. 1 Пространство кососимметричных тензоров 30 3. 2 Алгебра внешних дифференциальных форм 34 3. 3 Формы и отображения 41 3. 4 Операция внешнего дифференцирования 43 3. 5 Интегрирование дифференциальных форм на ориентированных многообразиях 46 3. 6 Многообразия с краем 50 1 2 3. 7 Интегрирование формы по подмногообразию. Формула Стокса 54 3. 8 Формула Грина 57 3. 9 Формула Гаусса-Остроградского 59 3. 10 Формула Стокса для поверхностей в Е3 61 3. 11 Теорема о вычетах 64 3. 12 Когомологии де Рама 69 3. 12. 1 Определение групп когомологии 70 3. 12. 2 Когомологии и отображения 73 3. 12. 3 Когомологии и векторные поля на плоскости 74 3. 12. 4 Когомологии и общая формула Стокса 76 3. 12. 5 Когомологии Еп и цепная гомотопия 76 3. 12. 6 Когомологии и векторные поля в!3 79 3. 12. 7 Гомотопии и когомологии 80 3. 13 Симплектические многообразия 81 4 Ковариантное дифференцирование 83 4. 1 Евклидова связность 84 4. 2 Аффинные связности 88 4. 3 Ковариантная производная по направлению 90 4. 4 Алгебраические свойства ковариантного дифференцирования 92 4. 5 "Единственность" операции тензорного дифференцирования 94 4. 6 Риманова связность 98 4. 7 Параллельный перенос 102 5 Геодезические 106 5. 1 Экстремальные свойства геодезических 112 5. 2 Нормальные координаты 116 5. 3 Лемма Гаусса и локальная минимальность геодезических ... 118 6 Тензор кривизны 121 6. 1 Коммутатор векторных полей 123 6. 2 Инвариантное определение тензора кривизны для симметричной связности 125 6. 3 Тензор кривизны римановой связности (тензор Римана) . . . 128 6. 4 Тензор кривизны двумерной поверхности 132 6. 5 Независимые компоненты тензора Римана 133 7 Элементы дифференциальной топологии 136 7. 1 Определение и основные свойства степени 136 7. 2 Основная теорема алгебры 140 7. 3 Степень и интеграл 142 7. 4 Теорема Гаусса-Бонне 143 7. 5 Теорема Брауэра 145 Простейшие примеры тензоров 3 В любой конкретной задаче, в конечном итоге, требуется определить поведение каких-нибудь числовых характеристик изучаемой системы. В простейшем случае эти числовые характеристики представляют собой функции, в более сложных — они организуются в более сложные образования. Например, координаты точки в евклидовом пространстве Еп образуют вектор.