Читать онлайн «Введение в тензорный анализ и риманову геометрию»
Автор Абрамов А.А.
A . * рамов
В ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
И РИМАНОВУ ГЕОМЕТРИЮ
о
Α. Α. Абрамов
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
И РИМАНОВУ
ГЕОМЕТРИЮ
Рекомендовано
Учебно-методическим советом
Московского физико-технического института
(государственного университета)
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению
«Прикладные математика и физика»
Издание третье
URSS
МОСКВА
ББК 22. 151. 422. 161. 6 22. 311
Абрамов Александр Александрович
Введение в тензорный анализ и риманову геометрию. Изд. 3-е. М. : Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2012. — 128 с. Настоящая книга содержит краткое изложение основных результатов тензорной
алгебры, тензорного анализа и римановой геометрии. Она написана на основе лекций,
прочитанных автором студентам Московского физико-технического института. Для понимания материала книги достаточно знаний по математическому анализу,
линейной алгебре и теории обыкновенных дифференциальных уравнений в объеме
общевузовских программ. Книга предназначена для студентов математических, физических и инженерных
специальностей, а также научных работников. Рецензенты:
проф. Д. В. Беклемишев;
проф. Μ. Μ. Постников
Издательство «Книжный дом "ЛИБРОКОМ"».
117335, Москва, Нахимовский пр-т, 56. Формат 60*90/16. Печ. л. 8. Зак. N» ЖТ-82. Отпечатано в ООО «ЛЕНАНД».
117312, Москва, пр-т Шестидесятилетия Октября, 11 А, стр. 11. ISBN 978-5-397-02711-3
© А. А. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или
передана в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то
электронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель,
а также размещение в Интернете, если на то нет письменного разрешения владельцев. Содержание
Предисловие б
Глава 1. Тензорная алгебра 8
§ 1. Тензоры в линейном пространстве 8
1.
Определение тензора 8
2. Соглашение об обозначениях 12
3. Алгебраические операции над тензорами 13
4. Другие возможности определения тензора 16
§2. Ориентация. Псевдотензоры 21
1. Ориентация 21
2. Псевдотензоры 23
§ 3. Тензоры в евклидовом пространстве 24
1. Общие соображения 24
2. Метрический тензор 25
3. Опускание и поднятие индексов 26
4. y/g 29
Глава 2. Тензорный анализ 32
§ 1. Основные понятия 32
1. Гладкое многообразие 32
2. Касательное пространство 37
3. Тензорное поле ■. 42
4. Векторное поле (пример тензорного поля) 42
5. Ориентация. Псевдотензорное поле 45
§ 2. Тензорные дифференциальные операции 46
1. Предварительные соображения и примеры 46
2. Определение тензорных
дифференциальных операций в X" 47
3. Некоторые дополнения 48
4
Содержание
§ 3. Внешние дифференциальные формы
1. Антисимметричное ковариантное тензорное поле . . . .
2. Внешняя дифференциальная форма
3. Зачем нужны внешние дифференциальные формы . . .
4. О псевдоформах
§4.
