Читать онлайн «Геодезические линии. Кратчайшие линии на поверхности.»

Л. А. ЛЮСТЕРНИК ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ * Яков Бернулли 1654-1705 Гравюра А. Троицкого с современного портрета ПОПУЛЯРНАЯ БИБЛИОТЕКА ПО МАТЕМАТИКЕ ПОД ОБЩЕЙ РЕДАКЦИЕЙ Л. А. ЛЮСТЕРНИКА Л. А. ЛЮСТЕРНИК ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ КРАТЧАЙШИЕ ЛИНИИ НА ПОВЕРХНОСТИ ОБЪЕДИНЕННОЕ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ОБЩЕТЕХНИЧЁСКИХ ДИСЦИПЛИН МОСКВА 1934 ЛЕНИНГРАД Т 29-4-4 ОГЛАВЛЕНИЕ. Стр. От автора 5 1. Кратчайшие линии на многогранных поверхностях 7 2. Кратчайшие линии на поверхностях цилиндра и конуса . . . 12 3. Некоторые сведения из теории плоских и пространственных кривых 23 4» Теорема Якова Бериулли . . 29 5- Дополнительные замечания 35 Редакция Р. Я. Бончховского. Оформление С, Л. Дыман. Корректура Н. А. Деминой. Выпускающий В. П. Морсе. іТТИ № 124. Тираж 5 000. Подп. в печ. с матриц 21/XI 1934 г. Формат бумаги 82X110. Авторск. лист. 2*/2. Бумажн, лист. 5/&. Печати, гніаков в брошюре 100 000. Заказ № 1484. Уполномоченный Главлита Н-848М2. Выход в свет декабрь 1934 г. 3-я тип. ОНТИ им. Бухарина. Ленинград, ул. Моисеенко, 10. ОТ АВТОРА. Настоящая брошюра представляет собою изложение до~ клада,читанного автором в математическом кружке инженерного отделения МУЭИ. Слушателями были большею частью студенты первого курса, приступившие к изучению элементов высшей математики, но доклад был построен так, чтобы его в основном могли понять и учащиеся старшей группы рабфака,—от слушателей доклада требовалось лишь знакомство с основными моментами курса элементарной геометрии средней школы и только во второй половине предъявлялись более высокие требования к их математическому развитию. Доклад был посвящен изложению простейших свойств геодезических линий, т, е. кратчайших линий на какой-либо поверхности среди линий, соединяющих две ее точки. Эти линии играют на поверхностях ту же роль, что прямые на плоскости > Цель выпускаемой брошюры — развить геометрические представления читателей. Для более подготовленных читателей в примечаниях даются более строгие определения употребляемых в тексте понятий. 6 1. КРАТЧАЙШИЕ ЛИНИИ НА МНОГОГРАННЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ. Читателю, конечно, известно одно из основных свойств прямой линии: если две точки А и В на плоскости соединены бесчисленным множеством различных линий, то кратчайшей из них является прямолинейный отрезок А~В1), Возьмем теперь на произвольной поверхности пару точек; их можно соединить бесчисленным множеством раз- лежащих на поверхности. Какая из этих линий является кратчайшей? Иначе говоря, как следует двигаться . _ но поверхности, чтобы кратчайшим в личных линии, Черт. 1. Черт. 2. путем попасть из одной точки в другую? Мы решим эту задачу сначала для некоторых поверхностей простейшего вида. Начнем с такой задачи: Дан двугранный угол с гранями Q и Qt и ребром MN; на этих гранях заданы две точки: точка А на Q и точка В на Qt (черт. 1). Точки А и В можно соединить бесчисленным множеством различ- г) Прямолинейный отрезок, соединяющий точки А и В, мы будем обозначать в дальнейшем через АВ; криволинейную дугу, соединяющую те же точки, через АВ, АВ, пли ьросіо АВ.