Читать онлайн «ПЛМ 01: Возвратные последовательности»

ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ВЫПУСК 1 А. И. МАРКУШЕВИЧ ВОЗВРАТНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ ш ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1975 612 M 27 УДК 512 Возвратные последовательности охватывают, как весьма частные случаи, арифметическую и геометрическую прогрессии, последовательности квадратов и кубов натуральных чисел, числа Фибоначчи и любые периодические последовательности Основы их общей теории были разработаны еще в XVIII в. французским математиком Муав- ром и первыми петербургскими академиками Д. Бернулли и Л Эйлером. Теория эта вполне элементарна и изложена в брошюре в виде, доступнам для учащихся девятых и десятых классов средней школы. 20202-023 М 053 (02)-75 89 75 ПРЕДИСЛОВИЕ В этой брошюре содержится расширенное изложение лекции, читанной автором для школьников IX и X классов— участников Московской математической олимпиады, а затем — в несколько измененном виде — в Московском институте усовершенствования учителей. Тема «Возвратные последовательности» близка к школьному курсу (арифметические и геометрические прогрессии, последовательность квадратов натуральных чисел, последовательности коэффициентов частного от деления двух многочленов, расположенных по возрастающим степеням, и т. п. ). Вместе с тем это настоящая маленькая математическая теория*), законченная, простая, ясная, как и все то, что вышло из рук крупнейших мастеров математического анализа, создавших эту теорию. Основы теории возвратных последовательностей были разработаны и опубликованы в двадцатых годах восемнадцатого века французским математиком Муав- ром [имя которого носит формула: (cos a +1 sin а)п = = cos па + i sin па] и одним из первых по времени членов Петербургской Академии наук швейцарским математиком Даниилом Бернулли. Развернутую теорию дал крупнейший математик восемнадцатого века петербургский академик Леонард Эйлер, посвятивший возвратным *) Для искушенного в математическом анализе читателя мы укажем, что это точный аналог теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. 3 последовательностям (рядам) тринадцатую главу своего «Введения в анализ бесконечных» (1748) *). Из более поздних работ следует выделить изложение тео* рии возвратных последовательностей в курсах исчисления конечных разностей, читанных знаменитыми русскими математиками академиками П. Л. Чебышевым и А. А. Марковым **). *) См. русский перевод первого тома этого труда, написанного Эйлером на латинском языке: Л. Эйлер, Введение в анализ бесконечных, т. I, изд. 2-е, Физматгиз, 1961, стр. 177—196. **) См. П. Л. Чебышев, Теория вероятностей, лекции 1879— 1880 гг, М — Л, 1936, стр 139—147; А А. Марков, Исчисление конечных разностей, 2-е изд, Одесса, 1910, стр. 209—239, 1. Понятие возвратной последовательности является широким обобщением понятия арифметической или геометрической прогрессии. Как частные случаи оно охватывает также последовательности квадратов или кубов натуральных чисел, последовательности цифр десятичного разложения рационального числа (и, вообще, любые периодические последовательности), последовательности коэффициентов частного от деления двух многочленов, расположенных по возрастающим степеням х, и т.