Читать онлайн «Задачи по теории вероятностей. Комбинаторика, классическое и геометрическое определение вероятности»

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Г. М. Бездудный, В. А. Знаменский, Н. В. Коваленко, В. Е. Ковальчук, А. И. Луценко, В. В. Рындина ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Часть 1 КОМБИНАТОРИКА, КЛАССИЧЕСКОЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по решению задач по теории вероятностей для студентов механико-математического факультета Ростов-на-Дону 2002 г. УДК 519. 2 Г. М. Бездудный, В. А. Знаменский, Н. В Коваленко, В. Е. Ковальчук, А. И. Луценко, В. В. Рындина Задачи по теории вероятностей. Часть 1. Комбинаторика, классическое и геометрическое определение вероятности. Методические указания к решению задач для студентов всех специальностей и всех форм обучения механико-математического факультета РГУ. Печатается по постановлению кафедры теории функций и функционального анализа механико- математического факультета РГУ. Протокол № от 2001 г. Ответственный за выпуск – доктор физико-математических наук, профессор Кондаков В. П. Цель настоящей работы – помочь студентам в приобретении навыков по решению задач по теории вероятностей. В начале каждого раздела приводится необходимый теоретический материал, после чего подробно рассматривается большое число типовых примеров. © Коллектив авторов  Элементы комбинаторики Правило умножения Пусть множество A1 содержит n1 элементов, A2 − n2 элементов,…, Ak − nk элементов. Тогда A1×A2×…×Ak содержит n1 n 2 K n k различных элементов. Другая интерпретация этого правила такова. Пусть первое действие можно совершить n1 различными способами, второе − n 2 различными способами,…, k-е − nk различными способами. Тогда все k действий можно совершить n1 n 2 L n k различными способами. Пример 1. Пусть из пункта A в пункт B имеется 5 дорог, а из пункта B в пункт C – 6 дорог. 1) Сколько существует различных вариантов проезда из пункта A в пункт C? 2) Сколько существует различных вариантов проезда из пункта A в пункт B и обратно? 3) Сколько существует различных вариантов проезда из пункта A в пункт B и обратно при условии, что дороги туда и обратно будут разными? Решение. 1) Существует 5 различных путей из пункта A в пункт B – это 5 способов 1-го действия, при этом существует 6 различных путей из пункта B в пункт C – это 6 различных способов 2-го действия. Согласно правилу умножения, число различных способов выбора пути из пункта A в пункт C равно 5⋅6 = 30. 2) Из пункта A в пункт B ведет 5 дорог, значит, имеется 5 способов проезда туда и 5 способов проезда обратно. По правилу умножения число всех способов проезда туда и обратно равно 5⋅5 = 25. 3) Рассуждаем аналогично пункту 2), но учитываем, что дороги туда и обратно не должны совпадать, т. е. при выборе одного из 5-ти способов проезда ‘туда’ обратно можно вернуться одним из 4-х способов.