Читать онлайн «Специальные курсы по математике»

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Специализированный учебно-научный Центр Серия: Математика В. В. Вавилов, В. А. Бахтина Специальные курсы по математике ш олз имен апааемпка Аиппея Николаевича Колмогорова 1996 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Специализированный учебно-научный Центр В. В. Вавилов, В. А. Бахтина Специальные курсы по математике Издательство Факториал 1996 ЕШ 22· 161 В-30 УДК 5I7,22(07j Вавилов В. В. , Бахтина В. А. Специальные курсы по математике. М. : Изд-во Факториал, 1996, 66 с, IP Ж)63537. ог 22·07·Ι994γ· Настоящая книга написана на основе учебных материалов по математике школы имени академика А. Н. Колмогорова Специализированного учебно-научного центра Московского университета. Основное содержание составляет лекционный материал, предшествующий заданиям математического практикума: Диаграмма касательных. Экологические модели. Книга в целом или отдельные ее части могут быть полезны для организации учебного процесса в специализированных физико-математических школах и для проведения факультативных занятий в средней школе. Печатается в авторской редакции. Рецензент: к. яь/i. h. Макаров А. В. ISBN 5-88688-014-3 © В. В. Вавилов, В. А. Бахтина В. А. Бахтина Часть I ПРОИЗВОДНАЯ И КАСАТЕЛЬНАЯ Введение В учебных программах средней школы (как обычной, так и специализированной) по математике (см. [1]) понятию касательной к графику функции у = /(х) предшествует понятие производной функции в данной точке χ = xq. А касательная к графику рассматриваемой функции определяется как прямая, задаваемая своим уравнением У = /'(жо)(з-so)+ /(*<>). В то же время в курсе физики понятия скорости и ускорения вводятся на интуитивной основе с использованием свойств касательной, как предельного положения секущей к кривой. Поэтому с точки зрения пропедевтики понятия производной в математических курсах особый интерес представляет изучение общих свойств касательных к данной кривой без использования понятия производной. Отметим также, что, например, используя только самые первичные свойства касательных, возможно полное и глубокое изложение приближенного метода Ньютона для решения уравнений (см. [$]). Обсуждению проблемы производной и касательной в средней школе, в указанном выше смысле, посвящены публикации [8], [9]. 4 §1. Геометрический смысл и определение касательной. В учебниках по геометрии [2], [3] касательная к окружности определяется как прямая, имеющая с кривой лишь одну общую точку. Если рассмотреть параболу у = х2 и воспользоваться этим определением, мы можем выделить бесконечное множество прямых, параллельных оси 0Y, которые подходят под определение, но не являются касательными. Более того, в каждой точке параболы можно выделить ровно две прямые, имеющие с кривой ровно одну общую точку, но касательной будет только одна из них. Далее мы пользуемся следующим определением касательной: пусть точка Ρ стремится к точке Μ вдоль кривой (см. рис. 1). Если секущая при Ρ -» Μ имеет предельное положение, которое является некоторой прямой, то эта прямая называется касательной.