Читать онлайн «Простейшие функции комплексного переменного»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ ИНСТИТУТ ХОЛОДА И БИОТЕХНОЛОГИЙ С. В. Фролов ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Учебно-методическое пособие Санкт-Петербург 2013 1 УДК 514 Фролов С. В. Простейшие функции комплексного переменного: Учеб. -метод. пособие. СПб. : НИУ ИТМО; ИХиБТ, 2013. 42 с. Даны комплексные числа, простейшие функции комплексного переменного (экспонента, логарифм, корень, тригонометрия и обратная тригонометрия), римановы поверхности и связи их топологии с интегрируемостью в элементарных функциях и с количеством компонент действительной кривой на проективной плоскости. Приве- дены основная теорема алгебры и разложение многочленов на комплексные и действи- тельные множители, а также разложение дроби на простейшие. Пособие предназначено для самостоятельной работы студентов направлений 141200, 190600, 220700, 151000, 240700, 260100, 260200, 140700, 080200 и 241000 бака- лавриата очной и заочной форм обучения. Рецензент: доктор техн. наук, проф. В. А. Рыков Рекомендовано к печати редакционно-издательским советом Института холода и биотехнологий В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория «Национальный исследовательский университет». Министерством образования и науки Российской Федерации была утверждена программа его развития на 2009–2018 годы. В 2011 году Университет получил наименование «Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных техно- логий, механики и оптики». Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, 2013 Фролов С. В. , 2013 2  1. Введение. О числовых системах Рассмотрим развитие понятия числа в математике. Фундамен- том всего является множество натуральных чисел N = {1, 2, …}. Как говорил крупный математик 19 века Леопольд Кронекер «Бог создал натуральные числа, всѐ остальное – дело рук человеческих». На са- мом деле натуральные числа тоже дело рук человеческих, они опи- сываются так называемыми аксиомами Пеано, но мы не будем здесь на этом останавливаться. Натуральные числа можно складывать, ум- ножать, но, вообще говоря, нельзя вычитать (оставаясь в множестве натуральных чисел). Проблема решается переходом к более широко- му множеству целых чисел Z = {…, – 2, – 1, 0, 1, 2, …}. В нѐм уже можно вычитать, но, вообще говоря, нельзя делить. Такие множества в математике называют кольцами. Кольцом является также, напри- мер, множество многочленов. Переходом к ещѐ более широкому множеству рациональных чисел Q решается проблема деления – в этом множестве можно складывать, вычитать, умножать и делить на всѐ, кроме нуля.