Читать онлайн «Конкурсные задачи по алгебре с решениями (часть 3)»

Ю. В. Садовничий МАТЕМАТИКА Конкурсные задачи по алгебре с решениями Учебное пособие Часть 3 Показательные уравнения, неравенства, системы Москва УНЦДО 2001 УДК 373. 167:512 ББК 22. 141 Я 729 С14 Садовничий Ю. В. Математика. Конкурсные задачи по алгебре с решениями. Учебное пособие. Часть 3. Показательные уравнения, неравенства, системы. - М. : Издат. отдел УНЦ ДО, 2001. - 56 с- (Серия «В помощь абитуриенту»). Данная брошюра содежит решения показательных уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств. ИД N* 00545 от 06. 12. 1999 Издательский отдел Учебно-научного центра довузовского образования 117246, Москва, ул. ги Гигиенический сертификат № 77. 99. 2. 925. Г1. 91Э9. 2. 00 от 24. 02. 2000 Налоговые льготы - Общероссийский классификатор продукции ОК-005-93, том 1-953000 Подписано в печать 24. 102001г. Формат 60x90/16 Бумага офсетная № 2. Усл. печ. л. 3,5 Тираж 500 экз. Заказ № 026 Отпечатано в Мини-типографии УНЦ ДО ISBN 5-88800-136-8 © Садовничий Ю. В. , 2001 © Учебно-научный центр довузовского образования, 2001 © Обложка. Алмазова Е. Е. , Шваров ВВ. , 1996 Простейшие уравнения и неравенства а'М = а9(я!> «=* f(x) = д(х) af{x) > а9(х) 4=> f(x) > д(х) при о>1 а/(*) > в«(«) <•=£. /(ж) < 5(ж) При 0 < а < 1 Основные формулы а"1 • ап = ат+п ат:ап = ат-п (ат)п = атп (ab)n = an-V •« Условия задач 1* (Хим-70; 275) Решить уравнение WSx2-2x+i 4-2 = 9- 2^3а?2""2ж 2. (Геогр-72; 4,5) Найти все числа х и у} для которых 2ж+1 = 4у2 + 1, { 2х ^ 2у. 3. (ВМК-72; 1,5) Решить уравнение 9i-(*~i)2 - 12 . з-^"1)2 + 1 = 0. 4. (Био-73; 5,5) Найти все значения действительного параметра а, для которых неравенство 4ж-а-2ж-а + 3^0 имеет хотя бы одно решение. 5. (Геогр-73; 4,5) Найти решения уравнения 6 ~25' удовлетворяющие неравенству х > —3. 6. (М/м-73; 3,5) Решить неравенство Ах + 8\/2"^г2 > 4 + (ж2 - х) ■ 2х + 2Ж+1 • х\/2-х2. 7. (Геогр-74; 3,5) Решить систему уравнений Условия задач 5 8. (Хим-75; 1,5) Решить неравенство г2ж-10-3\/#-2 _ л # гж-5 ^ rl+3\te-2 9. (М/м-75; 1,5) Решить неравенство до _ уж2+5ж-48 > дож2+5ж-49 10. (М/м-76; 2,5) Решить неравество 7 >,2 д* _ 2 " 3х - 1 11. (Геол-77; 1,5) Решить неравенство 4-9*-11-3*-1-5 12. (Био-78; 4,5) Решить неравенство >Ь. gv^-з + з < 28 . зх/гг=*~1. 13. (Почв-79; 1,5) Решить уравнение 14. (Геол-81; 1,6) Найти все решения уравнения 3-2*+1 + 5-2ж-2х+2 = 21. 15. (Хим-82; 3,5) Решить неравенство f(g(x)) < g(f(x)), где /(я) = 2*-1 и g(z) = 2х + 1. 16. (Геол-82; 3,6) Найти все решения уравнения 9-4» +5-6» =4-9». 6 Показательные уравнения, неравенства, системы 17. (Физ-82; 4,6) Решить неравенство 5Ж-3Ж+1>2(5Ж"1-3Ж~2). 18. (Геогр-83; 4,5) Решить систему (2k2-2a;-3|-log23 _. д-у-4 4|у|-|у-1| + (у + 3)2<8. 19. (М/м-84; 4,5) Решить систему уравнений {пЗх+i , оу~2 — з • 2г,+3ж у/Ъх2 + 1 + ху = \/х + 1. 20. (Физ-84; 3,6) Решить неравенство 2х+з _ хз . 2х ^ 16 _ 2хг 21. (Хим-85; 2,5) Решить неравенство 22. (Физ-85; 4,6) При каждом а решить уравнение 4х - 2о(о + 1) • 2х-1 + а3 = 0. 23. (Геол-86; 3,6) Решить уравнение 2 • б1 - 4* - 15 „ 6*-9*-5 =3- 24. (Эк-87; 6,6) Найти все значения параметра а, при каждом из которых система Г 3 . 2й + Ъ\х\ + 4 = 32/ + Ъх2 + За, имеет единственное решение. Условия задач 7 25. (Геогр-88; 2,5) Решить неравенство 3*_з0'5-* > л/3-1. 26. (ФМШ-88; 2,6) Решить неравенство J2 • 32ж+1 - - • 3х > 3я4"1 - 1. 27. (Почв-88; 3,5) Решить уравнение 3 • 4х - 7 • 10* + 2 • 25х = 0. 28. (ВМК-88; 4,6) Решить неравенство 29. (Физ-89; 5,6) При каких значениях р уравнение 4(я - у/р • 4Р)х + 4(4Р - 1) +р = 0 имеет корни и каковы знаки корней при различных значениях р? 30. (Геогр-90; 3,5) Решить неравенство 22+\/ж-1 __ 24 ,, —* > 1. 21+v^T - 8 31. (Био-91; 1,5) Решить уравнение 4v^+i,5 _ 13 . 2#^i + 20 = 0. 32. (Эк-92; 2,6) Решить неравенство (х2 -8х + 15)(2*-3 + 23~ж - 2Yl\fx^l ^ 0. 8 Показательные уравнения, неравенства, системы 33. (ФМШ-92; 4,6) Решить неравенство у/qx + 12^ - 24*4"1 > л/3 • 42яг+1 + 12я - 9Ж. 34. (Хим-93; 5,5) Найдите число решений уравнения 2*+i + 2i-* = г _ 4х _ х2 и дайте обоснование ответа. 35. (М/м-93; 1,6) Решить неравенство 36. (М/м-93; 2,6) Найти все значения а, при которых уравнение 4ж + (а2 + 5)-2ж-а2 + 9 = 0 не имеет решений. 37. (Псих-93; 1,5) Решите уравнение х+2 Ьх-10 Ззх-4 -7 = 2 3^^. 38. (ВМК-93; 3,6) Решите неравенство |3* - 4| + \х2 - Ах + 3| ^ 3х + 4ж - х2 - 7. 39. (ИСАА-94; 5,6) Решите неравенство I _ 4l+v^i| 40. (ВМК-94; 3,6) Решить неравенство ^ Э% Л л^/Ч — Г V7 + 2!-*>7-(i) ж-2 Условия задач 9 41. (Хим-95; 5,5) Найти множество пар действительных чисел (#>2/)5 удовлетворяющих системе ( 2-У - 2у2 + 2х ^ О, 8* - у4 + 2х - 1 = 0. 42. (Геол-95; 8,8) Найти все значения параметра а, при котрых неравенство 9х < 20 • 3х + a не имеет ни одного целочисленного решения. 43. (М/м-95; 1,6) Найти наибольшее целое число А;, удовлетворяющее неравенству 4-32*+1 + 3*<1. 44. (Физ-95; 7,8) Для всех значений а решить неравенство 45. (М/м-96; 2,6) Решить неравенство t 8 . 16* - I • 9х < 3 • 4Ж - 3*. 46. (Геол-96; 4,8) Решить неравенство 2 . 2~2*3 - 7 • 2~*3 + 3 > 0. 47. (ВМК-96; 3,6) При всех значениях параметра а решить уравнение 25* - (а-1)-5х 4-2а+ 3 = 0 и указать, при каких а оно имеет единственное решение. 10 Показательные уравнения, неравенства, системы 48. (Хим-97; 2,6) Решить неравенство (ч/2 + 1)* + 1<2(^2-1)ж. 49. (Эк-97; 2,6) Решить неравенство /1Ч у/{х2~2х-ЩЪ 50. (Эк-97; 1,6) Решить уравнение о|х| ___ гж2Н-Зж 51. (М/м-97; 1,6) Найти все решения неравенства 21 - 2х - 26~* — 13 — 2Ж| 5-|3-2*| 52. (Физ-97; 2,8) Решить уравнение (Г 53. (Псих-97; 4,6) При каких действительных р уравнение 4х + 2Х+2 + 7 = р - 4~х - 2 • 21"* имеет решение? 54. (ВМК-97; 4,6) Решить систему дх-2 7-- —— = 1 + 3 4х - 3 • 5х i 4* + 5 • 2х - 2 • Зу = 2, 2 • 9" + 2х + 2 • 3* = 1. 55. (М/м-98; 1,6) Решить уравнение З2* - 2 • З^-1 + 13х - - 4 13 12' Решения задач Задача 1* Решить уравнение Решение: Пусть у ~ 2у/3х*~2х, у > 0.