Читать онлайн «Действительные числа и основные принципы теории пределов»

Тч П V ГО ^ В1 БЛТ ОТ * У ' ' \ \ ч л » / т ЕДЕ О \ V-rr t If Г АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА УЧИТЕЛЯ А. И. МАРКУШЕВИЧ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР Москва 1948 Ленинград ПРЕДИСЛОВИЕ В этой книжке объединены в виде трех очерков несколько лекций из цикла, посвященного основным понятиям анализа, читанного автором в Московском городском институте усовершенствования учителей в 1946/47 уч. г. Назначение книжки—содействовать углубленному пониманию тех начальных глав математического анализа, которые ближе всего лежат к кругу повседневных математических занятий преподавателя средней школы. Мы ограничились вопросами, связанными с понятиями множества, действительного числа, функции (в частности, последовательности) и предела. Другие понятия анализа (производная и интеграл, ряд), которые, повидимому, в самом скором времени будут играть в преподавании в средней школе существенную роль, мы откладываем до другого случая. Мы считаем необходимым рекомендовать здесь читателю превосходную книгу А. Я- Хинчина „Восемь лекций по математическому анализу" (Огиз, Гостехиздат, 1946, 2-е издание), охватывающую также и те вопросы, которые опущены в нашей книжке. В основу нашего изложения мы положили теорию действительных чисел, по Г. Кантору и Ш. Мере. Эта теория излагается в нашей литературе реже, чем теория Р. Дедекинда. Мы избрали ее потому, что она стоит, по нашему убеждению, гораздо ближе к школьному курсу, чем теория Р. Дедекинда. Мы подробно останавливаемся также на сравнительном анализе основных принципов теории пределов. Один из них,(прин- 3 цип К. Вейерштрасса или принцип Г. Кантора, но не принципы О. Коши и Р. Дедекинда) должен найти себе место в преподавании. В заключение, мы хотим подчеркнуть еще раз, что наше изложение ориентировано на учителя, а не на учащегося. Оно претендует на то, чтобы дать научные основы теории действительных чисел и пределов. Остается еще весьма серьезная, чисто педагогическая задача, разрешить которую—дело новых учебников до математике для средней школы. Автор Очерк первый ПРЕДМЕТ АНАЛИЗА. МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ. СХОДЯЩИЕСЯ И РАСХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПОНЯТИЕ ЧИСЛА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ПОТРЕБНОСТЕЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИЗА 1. Термин математический анализ употребляется по меньшей мере в двух смыслах. В узком смысле слова— это дифференциальное и интегральное исчисление. Именно в этом смысле термин „математический анализ" фигурирует в учебных- планах и программах наших учебных заведений. В широком же смысле слова—это обширный комплекс дисциплин, исторически сложившихся на основе дифференциального и интегрального исчисления. Сюда, помимо дифференциального и интегрального исчисления, относятся также: теория множеств и теория функций действительного переменного, теория функций комплексного переменного, теория рядов, ряды Фурье (тригонометрические) и их обобщения, ряды полиномов, специальные функции (гамма- функция, дзэта-функция, гипергеометрические функции, функции Лежандра, бесселевы, эллиптические и др. ), дифференциальные уравнения, интегральные уравнения, ,вариационное исчисление, функциональный анализ, теория вероятностей, математическая статистика и т.