Читать онлайн «Многочлены Чебышева»

Ю. А. ДАНИЛОВ МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА МИНСК «ВЫШЭЙШАЯ ШКОЛА» 1984 УДК 517. 518. 82С Рецензент: А. Ф. Мишка такой человек, ему обяза- обязательно надо, чтоб от всего была польза. Когда у него бывают лишние деньги, он идет в магазин и покупает какую-нибудь полезную книжку. Одни раз ои купил книгу, которая называется «Обратные тригонометрические функции и полиномы Чебышева». Конечно, он пи слова в этой книжке не понял и решил прочитать ее потом, когда немножко поумнеет. С тех пор эта книга лежит у него на полке — ждет, когда ои поумнеет. Н. Носов. Веселая семейка ВВЕДЕНИЕ ЧТО ТАКОЕ МНОГОЧЛЕН? Знаете ли вы, что такое многочлен? Нет, вы не знаете, что такое многочлен. Простота знакомого всем определе- определения многочлена обманчива. Иногда, как это сделал, например, автор купленной Мишкой «на вырост» книги, многочлены называют по-гречески «полиномами». Для тех, кому это название нравится больше, наш вопрос звучит так: что такое полином? Тем, кому определение многочлена не очень хорошо знакомо или кто успел основательно забыть его, напомним, что многочленом (я-й степени от одного переменного х) называется выражение Рп (х) =s аох где и — целое положительное число, т. е. сумма целых неотрицатель- неотрицательных степеней переменного х, взятых с некоторыми числовыми коэф- коэффициентами. Занимаясь изучением многочленов, математики от- открыли немало нового и удивительного, ставшего впослед- впоследствии привычным и обыкновенным. Многое из того, что в наши дни навевает скуку на школьника старших клас- сов и тем более на студента, превзошедшего всю школь- школьную премудрость, несколько веков назад было предметом тайных вожделений не одного математика. Долгое время излюбленным занятием математиков было нахождение нулей, или корней, многочленов. Устраивались даже турниры но решению алгебраических уравнений. Было замечено, что одни уравнения, например *2-1=0, A) имеют вещественные корни, а другие, казалось бы, внеш- внешне похожие, например *2 + 1 = 0, B) вещественных корней не имеют (если х — вещественное число, то х2 ^ 0, и левая часть заведомо не меньше еди- единицы, что не позволяет ей обратиться в нуль ни при ка- каком значении х). «А что если пополнить запас вещественных чисел не- неким воображаемым «числом», которое бы удовлетворяло уравнению B),— стали размышлять математики. — Уравнение B) стало бы разрешимым, как и уравне- уравнение A), и у нас одной заботой стало бы меньше». И они так и сделали: обозначили воображаемое число буквой i, с которой начинается французское слово imaginaire (воображаемый, или мнимый), и назвали его мнимой единицей. Может быть, вы думаете, что математикам пришлось пополнять запас чисел, могущих быть корнями алгебраических уравнений хп + 1 = О при каждом п в отдельности? Ничуть не бывало! Оказа- Оказалось, что, пополнив запас вещественных чисел одним- единственным «воображаемым числом» — мнимой еди- единицей i— и научившись производить над ней алгебраи- алгебраические операции, математики обрели возможность находить нули многочленов любых степеней.