Читать онлайн «Топологические методы в вариационных задачах»

ИСЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ПРИ 1 М. Г. У. Л. А. ЛЮСТЕРНИК и Л. Г. ШНИРЕЛЬМАН ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКВА * 1930 L. LUSTERNIK ET L. SCHNIRELMANN METHODES TOPOLOGIQUES DANS LES PROBLEMES VARIATIONNELS Главлит А-62401. H. И. Гиз 39544. Зак. 1218. Тираж 1 000 экз. 4*/4 "• л. 1-я Образцовая типография Госиздата. Москва, Валовая, 28, ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ПРИ I МГУ Л. А. ЛЮСТЕРНИК и Л. Г. ШНИРЕЛЬМАН ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ МОСКВА * 1930 СОДЕРЖАНИЕ Стр. Предисловие 5 Глава I. Введение § 1. Постановка задачи 7 § 2. Метод минимума 8 § 3. Метод аналитического продолжения Пуанкаре 10 § 4. Метод минимакса Биркгофа 12 § 5. Задача Пуанкаре 13 § 6. Метод минимума максимумов Куранта 14 Глава II. Экстремумы функций, заданных на многообразии § 1. Топологические классы 16 § 2. Принцип особой точки 17 § 3. Категория замкнутого множества относительного компактно- компактного пространства 19 § 4. Оценка числа решений вариационной задачи 25 § 5. Категория проективного пространства 26 § 6. Применение методов комбинаторной топологии к оценке категории 31 § 7. Псевдо-категория нсевдо-проективного пространства ... . 35 § 8. Приложения и примеры 37 Глава III. Категории семейств линий § 1. Деформация системы кривых 42 § 2. Категория семейств кривых 45 § 3. Примеры семейств самонепересекающихся кривых старших категорий 47 Глава IV. Применение к замкнутым геоде- геодезическим § 1. Теоремы о замкнутых геодезических линиях 51 § 2. Операция сглаживания кривой 52 § 3. Процесс сглаживания для системы кривых 59 § 4. Доказательство существования почти геодезической кривой в почти минимальной системе 62 § 5. Применение теории категорий 66 Примечания 68 ПРЕДИСЛОВИЕ В настоящей работе мы излагаем результаты наших исследований в области топологических методов в вариационном исчислении, по- полученные нами главным образом в конце 1927 г. и начале 1928 г. По мере их получения, они излагались на докладах в московских научных учреждениях. О них же было доложено на V международном математическом съезде (в г. Болонье в 1928 г. ). Мы не касались здесь наших более ранних работ в этой обла- области, которые велись другими методами, а равно и работ послед- последнего времени. Первая глава служит введением — в ней дается очерк главнейших из работ, к которым тематически и методически примыкают наши исследования. Впрочем при изложении основного материала мы не предполагали от читателя знакомства с этими результатами. Для его понимания достаточно знакомства с основными идеями вариационного исчисления, диференциальной геометрии и топологии. Исключение представляет лишь § 5, гл. II, где изложение опирается на более новые результаты в области комбинаторной топологии. Поэтому предложения § 4, необходимые для дальнейшего, мы изложили пользуясь менее общими, но зато более элементарными правилами. В настоящей работе мы прежде всего находим условия суще- существования решений уравнений вариационного типа; здесь наша работа является непосредственным обобщением результатов Пуан- Пуанкаре (Poincare) и Биркгофа (Birkhof); с другой стороны, мы ставим новую задачу оценки числа решений вариационной задачи.