Читать онлайн «О полуупорядоченных пространствах»

ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК СССР. 1937 BULLETIN DE L'ACADEMIE DES SCIENCES DE L'URSS Classe des sciences Отделение математических roathematiques et naturelles и естественных наук Л . В. КАНТОРОВИЧ О ПОЛУУПОРЯДОЧЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ1 Результаты исследований автора по теории полуупорядоченных пространств. Первая часть посвящена теории линейных полуупорядоченных пространств. Такое пространство представляет многообразие, во многом сходное с множеством вещественных чисел. Вторая часть посвящена применениям этой теории в функциональном анализе. В третьей части рассматриваются полуупорядоченные пространства общего вида и уста­ навливается связь их теории с некоторыми вопросами топологии и теории множеств. ВВЕДЕНИЕ Полуупорядоченным (или частично упорядоченным) множеством называется такое множество элементов Y = fy\ , в котором для некото­ рых пар элементов определено отношение уг<у2. Обычно предполагается, что в таком многообразии существует наименьший элемент из следующих за данными двумя sup {ух, у2) и наибольший из предшествующих обоим inf (уъ у2). Такого рода многообразия впервые рассматривались Дедекин- дом и С. Шатуновским2. Приведем следующий простой пример, указанный еще Дедекиндом. Рассмотрим множество целых положительных чисел {и}- Будем писать п 1>пг-> если п± делится на п2 без остатка, и пх<п2, если пх делит п% {пх Ф п2). В этом случае sup (ггх, п2) есть наименьшее кратное этих чисел, a inf (ra1? п2)—их общий наибольший делитель. За последние годы интерес к теории полуупорядоченных многообра­ зий чрезвычайно возрос, и появилось большое число работ, в которых рассматриваются эти многообразия и их применения к вопросам абстракт­ ной алгебры, топологии и аксиоматики геометрии. Достаточно назвать работы К. Menger, G. Birkhoff, А. Маркова, М. Stone, О. Ore, П. С. Алек­ сандрова, A. Tuecker, F. Klein-Barmen и др. В течение последнего года мною был получен ряд результатов в этой области, изложению которых и посвящена настоящая статья. 1 Доложено на сессии Группы математики Академии Наук СССР 23 марта 1936 г. 2 См. литературу в конце статьи. 92 Л. В. КАНТОРОВИЧ Основными новыми моментами моих исследований являются следую­ щие: 1) введение понятия предела в полуупорядоченных многообразиях; 2) рассмотрение линейных полуупорядоченных пространств, которые обладают многими свойствами множества вещественных чисел; 3) рассмотрение*ряда частных пространств, элементами которых служат функции или последовательности; 4) применение полуупорядоченных пространств в теории линейных операций; 5) применение полуупорядоченных пространств к некоторым вопросам метрической теории функций; 6) изучение полуупорядоченных пространств как объектов топологии и дескриптивной теории функций. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВ § 1.