Читать онлайн «Кратные и криволинейные интегралы»

ВОЕННО-ИНЖЕНЕРНАЯ КРАСНОЗНАМЕННАЯ АКАДЕМИЯ имени В. В КУЙБЫШЕВА Р. С. ГУТЕР и П. Г. ШНИРЕЛЬМАН КРАТНЫЕ и КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ИЗДАНИЕ ВИА Мое кв a— 19GC Р. С. Гутер и П. Г. Шнирельман. Кратные и криволинейные интегралы. Изд. ВИА, I960. В работе излагается раздел курса высшей математики — «Кратные и криволинейные интегралы». Книга снабжена большим количеством примеров приложений геометрического и физического характера и предназначена в качестве пособия для слушателей ВИА им. В. В. Куйбышева. ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга предназначена в качестве учебного пособия для слушателей* Академии и написала в соответствии с программой по высшей математике, утвержденной в 1958 году. Параграфы б и 7 главы I предназначены лишь для факультета № 4, параграф £ той же главы «а этом факультете может быть опущен. На факультетах № 1 и 3 глава III обычно опускается, а глава II излагается в сокращенном виде. Поэтому при пользовании книгой следует руководствоваться указаниями лектора. Авторы старались снабдить книгу возможно большим числом примеров приложений геометрического и физического характера; далеко ле все из них следует считать обязательными для изучения. Читателю следует иметь в виду, что при различных ссылках всюду используется общепринятая система: если в тексте имеется ссылка на номер формулы или параграфа без каких-либо дополнительных пояснений, то всегда подразумевается формула того же параграфа или параграф той же главы. В противном случае делаются более подробные указания. За большую помощь при подготовке рукописи и изготовлении чертежей авторы выражают благодарность Е. П. Павленко. Авторы будут признательны всем читателям за указалия на возможные недостатки. 3 ГЛАВА I У\ ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла Мы знаем, что основным понятием интегрального исчисления для функции одного переменного является определенный интеграл. К этому понятию приводит рассмотрение большого числа задач из различных областей физики, геометрии и т. д. , из которых следует, прежде всего, -назвать задачу отыскания площади 'криволинейной трапеции и задачу восстановления первообразной функции по производной. Эти задачи являются важнейшими в интегральном исчислении, и первостепенное значение имеет тот факт, что решаются они с помощью одного и того же понятия определенного интеграла. Аналогичные задачи могут быть поставлены и для функции двух переменных. С каждой функцией y=f(x), заданной на отрезке [а, Ь\ естественным образом связана плоская фигура, ограниченная графиком y=f(x), участком оси Ох и ординатами, проведенными на границах; эту фигуру принято называть криволинейной трапецией (рис. 1). Точно так же, с функцией z=f(x, у), заданной «а области G, естественным образом связано тело, ограниченное поверхностью z=f(x,y), областью G плоскости хОу и аппликатами, проведенными на границе. Последние образуют цилиндрическую поверхность, направляющей которой служит граница области G, а образующие параллельны оси Oz.