Читать онлайн «Системы дифференциальных и разностных уравнений»

Ι ι [ 1 I II Ί A I J Η J . ϊ I ( ι ι Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова В. Ш. Бурд, П. Н. Нестеров Системы дифференциальных и разностных уравнений: метод усреднения и асимптотика решений Учебное пособие Рекомендовано Научно-методическим советом университета для студентов, обучающихся по специальности 010200 Прикладная математика и информатика Ярославль 2008 УДК 517. 928 / 517. 929. 2 ББК В161. 62я73 Б 91 Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного издания. План 2008 года Рецензенты: доктор физ. -мат. наук, профессор Э. Мухамадиев; кафедра математического анализа Ярославского государственного педагогического университета им. К. Д. Ушинского. Б 91 Бурд, В. III. Системы дифференциальных и разностных уравнений: метод усреднения и асимптотика решений: учебное пособие / В. Ш. Бурд, П. Н. Нестеров; Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова. - Ярославль: ЯрГУ, 2008 - 192 с. ISBN 978-5-8397-0627-9 В пособии рассматриваются вопросы построения асимптотики решений систем линейных (а также некоторого класса нелинейных) дифференциальных и разностных уравнений в окрестности бесконечности. Основу используемой методики составляет фундаментальная теорема Н. Левинсона и ее разностные аналоги. В сочетании с методом усреднения Крылова- Боголюбова эти результаты в целом ряде задач дают эффективный способ получения асимптотических представлений для решений. В пособии изложены элементы теории асимптотического интегрирования линейных систем дифференциальных уравнений, дается общее представление о классе почти периодических функций. Предложен специальный вариант метода усреднения, разработанный авторами для исследования систем с колебательно убывающими коэффициентами. Используемый метод демонстрируется на ряде модельных задач. Учебное пособие по дисциплинам «Дифференциальные уравнения» (блок ОПД) и «Почти периодические функции и метод усреднения» (блок ДС) предназначено для студентов, обучающихся по специальности 010200 Прикладная математика и информатика, очной формы обучения. Работа выполнена при финансовой поддержке целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (проекты РНП. 2. 2. 2. 3. 16065 и РНП. 2. 1. 1. 630), а также Американского фонда гражданских исследований и развития (CRDF), грант RUB1-020-YA-07/BF7M20. Рис. 1. Библиогр. : 75 назв. УДК 517. 928 / 517. 929. 2 ББК В161. 62я73 Б 91 ISBN 978-5-8397-0627-9 © Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, 2008 Оглавление Предисловие 5 Введение 7 Векторно-матричные обозначения 7 Асимптотические последовательности и асимптотические ряды 8 Упражнения 15 Глава 1. Асимптотическое интегрирование линейных систем 17 1. 1. Теорема Левинсона 17 1. 2. Дихотомия решений линейных систем 25 1. 3. Приведение системы к L-диагональному виду 28 1. 4. Оценка остаточного члена в асимптотических формулах . . 34 Упражнения 40 Глава 2. Метод усреднения на бесконечном промежутке 43 2. 1.