Читать онлайн «Методическая разработка для десятых классов вечернего отделения МММФ. Геометрия. Начала анализа»

Предисловие Разработка "Геометрия. Начала анализа" является непосредственным продолжением сборника "Алгебра*. Нумерация тем, занятий и задач продолжает нумерацию сборника "Алгебра". Ко всем занятиям по геометрии приведены теоретические введения. Они преследуют несколько целей: а) напомнить некоторые стандартные, но важные моменты школьного курса геометрии; б) обратить внимание на полезные соотношения, не отмеченные в школьном учебнике (их надо рассматривать как дополнительные задачи). Теоретические введения, как правило, не покрывают весь материал, необходимый для решения задач (этой цели служит стандартный школьный учебник, знание материала которого предполагается) . Разработка расчитана на преподавателей, работающих в десятых классах вечернего отделения Малого механико-математического факультета Московского государственного университета , т. е. предполагается, что читатель обладает некоторой математической культурой. По этой причине к теме "Элементы математического анализа" не даны теоретические указания* Авторы разработки: Л. П. Исупов, В. В. Трофимов. Щульгейфер. - 2 - ОБНАЖЕНИЕ стр. Тема 4. Геометрические задачи Занятие № II. Геометрическое воображение. Чертеж в геометрической задаче. Доказательства в геометрии 3 Занятие № 12. Геометрическое решение задач 5 Занятие Jfc 13. Аналитическое решение задач. Прямые и плоскости в пространстве 9 Занятие № 14. Комбинации тел. Сечения многогранников 12 Занятие Jfc 15. Векторная алгебра 19 Занятие Jfc 16. Геометрические преобразования 22 Тема 5. Элементы математического анализа Занятие £ 17. Предел числовой последовательности и его свойства 24 Занятие № 18. Предел функции и непрерывность 25 Занятие № 19. Вычисление производной. Свойства производной . . 25 Занятие Jfc 20. Приложение производной для исследования функций 26 Занятие Jfc 21. Неопределенный интеграл. Приемы интегрирования 28 Занятие Jfc 22. Определенный интеграл и его приложения . . . . 29 Ответы 30 Литература 34 - 3 - ТЕМА 4. ГШ,1ЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ Занятие & II. Задачи по геометрий являются наиболее сложными в курсе элементарной математики. Решение геометрической задачи обычно начинается с составления чертежа. Часто считают, что хороший чертеж - это половина решения задачи (конечно, не для экзаменов). При изображении геометрического тела важно сделать удобный для решения задачи и достаточно крупный чертеж, на котором были бы видны все линии, фигуры, углы и т. п. , которые используются при решении. Поэтому необходимо прикинуть на черновике, в каком ракурсе удобнее изобразить тело, как удобнее, нагляднее провести сечение и т. д. Надо при этом учитывать условия видимости линий: невидимые элемента фигуры изображать пунктиром. При решении геометрических задач очень часто приходится использовать некоторые стандартные геометрические конструкции. Отметим некоторые из них. Определение. Тетраэдр называется ортоцентрическим, если все его высоты пересекаются в одной точке. Следующие пять свойств тетраэдра эквивалентны: а) четыре высоты пересекаются в одной точке (ортоцентре); б) какие-либо две высоты пересекаются с третьей; в) противоположные ребра попарно перпендикулярны; г) суммы квадратов длин противоположных ребер равны; д) проекция одной из вершин на противолежащую грань совпадает с ортоцентром этой грани (тогда и остальные вершины обладают тем же свойством).