Читать онлайн «Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа»

АКАДЕМИК М. А. ЛАВРЕНТЬЕВ ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ Академик М. А. ЛАВРЕНТЬЕВ ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ НАУК СССР Москва—-1962 ПРЕДИСЛОВИЕ До настоящего времени продолжают оставаться актуальными проблемы Существования и устойчивости для различных классов краевых задач теории уравнений математической физики. Особенно большие успехи достигнуты за последние десятилетия в линей* ных проблемах, где метод интегральных уравнений со знаменитой альтернативой Фредгольма дал возможность до конца изучить все основные линейные задачи для уравнений эллиптического типа; этот же метод дал возможность сильно продвинуть известную проблему Трикоми для уравнений смешанного типа. Начиная с известных исследований А. Билля, Т. Леви-Чи- виты и А. И. Некрасова, мы имеем большой цикл работ по классическим нелинейным проблемам механики сплошных сред — задаче о струйном обтекании произвольного контура и задаче о волновых движениях тяжелой жидкости. Наибольшее число работ в этом направлении опирается также на интегральные уравнения (нелинейные) с применением метода разложения по малому параметру (А. И. Некрасов, Н. Е. Кочин и др. ) или с применением методов функционального анализа, в частности знаменитой теоремы о неподвижной точке (Ж. Лере, А. Вейнштейн, Ю. Кравченко и др. ). В предлагаемой вниманию читателей монографии я излагаю принципиально иной подход к указанным задачам. Этот подход опирается на ряд геометрических свойств конформных и квазиконформных отображений и использует общую принципиальную схему решения вариационных задач, выдвинутую впервые Д. Гильбертом и широко развитую Л. Тонелли. 3 Метод стоит на грани между классическими методами анализа с его конкретными оценками и приближенными формулами и методами теории функций действительного переменного с их качественным характером и общим теоретико-множественным рассмотрением. В силу этого мне хочется подчеркнуть заранее, что при составлении монографии я стремился построить ее так, чтобы ею могли воспользоваться как математики, так и механики, далекие от теории функций. По-видимому, для математиков будет представлять интерес метод доказательств теорем существования и единственности (главы I, II, III) и общая теория квазиконформных отображений; математики могут свободно •выпустить разделы, касающиеся приближенных методов и частных исследований конкретных задач по теории струй и теории волн. Механики, далекие от теории функций, могут свободно Выпустить общую схему доказательства теорем существования й фиксировать свое внимание на приближенных формулах конформных и квазиконформных отображений, которые могут быть полезными (с приведенными в монографии меюдами оценки погрешностей) при решении многих конкретных задач механики сплошной среды. Я не стремился подробно излагать детали доказательств, а иногда ограничивался лишь общими идеями. Я не стремился также к максимальной общности предположений и оставлял в стороне вопросы, связанные с тонкими теоретико-функцио- вальными рассмотрениями.