Читать онлайн «Лекции по дифференциальной геометрии и топологии»

Лекции по дифференциальной геометрии и топологии. А. О. Иванов, А. А. Тужилин Содержание Предисловие 5 Лекция 1. Тензоры и тензорные поля 7 1. 1. Простейшие примеры тензоров 8 1. 2. Общее определение тензора 11 1. 3. Линейное пространство тензоров 17 Лекция 2. Алгебраические операции над тензорами и тензорными полями 22 2. 1. Линейная комбинация 22 2. 2. Перестановка индексов одного типа 22 2. 3. Свертка 24 2. 4. Тензорное произведение 25 2. 5. Опускание и поднятие индекса 27 2. 6. Симметрирование и альтернирование 29 2. 7. Частичное альтернирование 30 Лекция 3. Алгебра внешних дифференциальных форм 35 3. 1. Пространство кососимметричных тензоров 35 3. 2. Внешние дифференциальные формы 39 3. 3. Внешнее умножение 40 3. 4. Формы и отображения 44 Лекция 4. Дифференцирование и интегрирование форм 49 4. 1. Внешнее дифференцирование 49 4. 2. Интегрирование дифференциальных форм на ориентированных многообразиях 52 4. 3. Многообразия с краем 57 Лекция 5. Теорема Стокса 62 5. 1. Интеграл по подмногообразию и формула Стокса . . 62 5. 2. Интеграл от функции, интегралы «первого» и «второго» рода 64 5. 3. Формула Грина 65 5. 4. Формула Гаусса-Остроградского 67 5. 5. Формула Стокса для поверхностей 69 Лекция 6. Когомологии де Рама 77 6. 1. Определение групп когомологии де Рама 77 6. 2. Когомологии и отображения 81 6. 3. Гомотопии и когомологии 82 6. 4. Когомологии и общая формула Стокса 85 Лекция 7. Ковариантное дифференцирование 90 7. 1. Евклидова связность 90 7. 2. Аффинные связности 94 7. 3. Ковариантная производная по направлению 95 7. 4. Евклидовы координаты для связности 98 4 Содержание Лекция 8. Свойства ковариантного дифференцирования 100 8. 1. Алгебраические свойства ковариантного дифференцирования 100 8. 2. «Единственность» операции тензорного дифференцирования 102 8. 3. Риманова связность 105 8. 4. Евклидовы координаты для метрики 109 Лекция 9. Параллельный перенос и геодезические 111 9. 1. Параллельный перенос 111 9. 2. Параллельный перенос в римановой связности ... . 113 9. 3. Определение и простейшие свойства геодезических . 114 9. 4. Нормальные координаты 116 Лекция 10. Экстремальные свойства геодезических . . 123 10. 1. Производная функции длины кривой при ее вариации 123 10. 2. Лемма Гаусса и локальная минимальность геодезических 126 Лекция 11. Тензор кривизны 132 11. 1. Координатное определение тензора кривизны ... . 132 11. 2. Коммутатор векторных полей 134 11. 3. Инвариантное определение тензора кривизны для симметричной связности 138 Лекция 12. Случаи римановой связности (тензор Ри- мана) 142 12. 1. Новые симметрии тензора Римана 142 12. 2. Тензор кривизны двумерной поверхности 146 12. 3. Независимые компоненты тензора Римана 148 Лекция 13. Степень отображения 152 13. 1. Определение и основные свойства степени 152 13. 2. Основная теорема алгебры 156 13. 3. Теорема «о еже» 158 Лекция 14. Другие применения степени отображения . 162 14. 1. Степень и интеграл 162 14. 2. Теорема Гаусса-Бонне 163 14. 3. Особые точки векторных полей 165 14. 4. Теорема Брауэра 166 Лекция 15. Элементы вариационного исчисления ... . 169 15. 1.