Читать онлайн «Приложение дифференциального исчисления к некоторым задачам физики и механики»

мйшячрсгво высшего и среднего спецшьюго ОБРАЗОВАНИЯ СССР Харьковский ордена Ленина авиационный институт и». Н. Е. Жуковского Л. В. Жеадакова, Е. Г. Ушакове ПРКЛОШШЕ ДИФФЕРЩдаАЛЫЮГО ПСЧШЛШШ К НШОТОРШ ЗАДАЧАМ «ШИКИ И ШХАШСИ Учебное пособие Харьков ХАИ 198? Уда 517. 28; 53я S31 Приложение дифференциального исчисления к некоторым задачам фиалки и механики: Учеб. пособие / Л. В. Желдакова, Е. Г. Ушакова. - Х. г Харьк. авиац. ин-т, 1987. - <*9 с. Рзесмотрвны основные методы реш. лия дифференциального уравнения к ывтоды составления дифференциальных уравнений при решении различных задач физики и механики. Приведено решение многих примеров. Преднаоначено для студентов всех специальностей. Ил. ?. Виблиогр. : 5 назв. Рецензента: каф. Mat. физики Харьк. ун-та; ьаед. физ. -мат. наук А. В. Макаричев I. щш^шщмшш урашши. шшше одадащш 1 D. Харьковский авиационный инотитут, 1987 Н"?ТО?1ПТ|?Я УЩЩЗДЮт еийВййщав незави- независимое переменное, неизвестнута функтдию в ее производные шш ди§- ншального уравнения называется порядок вхо- входящей в уравнение старшей производной (или дифференциала). Так, ij,1 + у е* =* te |x пв#вэго дарив*®. Любая функция у * if tss) , штвраа $№амто§т® яада©*^ дафференциальному уравнений, т. е. обращает его в тождество при замене ц. к его производных на f (X) и ее производные, назы- называется решением дайеренциального уравнения. Например, фрдада ц ш gx является решением дифференциального уравнения Хау"- -&ХЦ1 + 2. U «0, так как отыскав производные этой функции ц'*2 , и "=»0 я подставив их в данное уравнение вместо М , ц' , ып , получай тождество - А% +4к®0. Решение дифференциального- уравнения называется общим, если оно содержат столько независимых ароизюльных ностояани, каков порядок уравнения, а функции, получаемые еэ общего решения при раашчшх числовых значениях произвольных постоянвнх, нашэаютоя часташм решениями этого уравнения. Так,-функция Ц »¦§- +<&2 , удовлетворящая уравнению второго порядка ХМ" + ^М1 «0 ' (в чем можно убедиться путёв. подстановки ) и содержащая две произвольных постоянных ?, и tg , является обдам решением этого уравнения, а функции у«4» u = -~ + f iV»*i . получакхциеся из общего решения ари различных значениях С, и С^ , являются его чаетндаи ретеииями Чтобы выделить одно"частное реиенке из общего,ауино указать допвл- нигвльные условия. Чаще всего рассматривают начальные условия, т. е. указывают в некоторой начальной точке (х«Х0) значения (j? :кции я ее производных: Ч. (Хв) шЧр » ц'(Кв) ^Цо , ... ц<п"<:!(хв) = ЦъП~*\ Нахождение частного решения при заданных начальных у;лониях нэзкьз. зтся зала чей Коти. График частного рзшения называется интегральной Реизкие, записанное в• неявно;,' яде, называется' 2. даЖРЩЦИМЪНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПВРЮГО ПОРЯДКА ОбВша спадения Общий вид дифференциального уравнения первого порядка Pcx,ysy>*o. (i) Обычно уравнение (I) mosho представить в форме, разрешенной относительно производной шш в форма, содержащей дифференциалы Щхфё* + M(x,|)dy «i, (з) От 4->№* B) можно легко перзйти к форме C) и наоборот. Уравне- Уравнение BJ имеет едиь-твек^ое решение, удовлетворяющее начальному условию U(Jse> «^0 , если функция ffx. 'j) непрерывна в точке М(хв,у. в) /а ее производная Щ- конечна. Ушвценая о. рдчделяящимрся Урав'-едив первого порядка M(x,«)dx * MEC,t|}cty «О называется уравнением с разделяющимися переменнши, воли функ- функции MtKsi|) и $(х,ц) разлагаются на множители, завися- зависящие каждый только от одной переменной, например: Путем деления членов данного уравнения на переменные также разделяется* После разделения перемешшу, когда каздый члан уравнения буцет зависеть только от одной переменной", общее решение уравнения находим почленным интегрированием: Найти общие решение следующих уравнений: sB 2) secax-sec^cix «-etax-sl Рассмотрим уравнение (x-H)sdy-(M)?c!xs0.