Читать онлайн «О простейших понятиях современной топологии»

Популярная библиотека по матёматинё^ ПОД ОБЩЕЙ РЕДАКЦИЕЙ ПРОФ. Л. А. ЛЮСТЕРНИКА П. С. АЛЕКСАНДРОВ |и В. А. ЕФРЕМОВИЧ О ПРОСТЕЙШИХ ПОНЯТИЯХ СОВРЕМЕННОЙ ТОПОЛОГИИ ОбЪЕДИНЁННОЁ Научно-техническое издательство нктп <2сср ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ОБЩЕТЕХНИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ И НОМОГРАФИИ МОСКВА 1935 ЛЕНИНГРАД \ f 29-4-4 ОГЛАВЛЕНИЕ Стр. Глава I ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 1. Метрическое и качественное в геометрии , . . . . 3 2. Элементарные поверхности 6 3. Односторонние поверхности 8 4. Внутренние и невнутренние свойства. Гемеоморфизм и изотопия 10 5. Двусторонность и ориентируемость . 14 Глава II МНОГООБРАЗИЯ 6. Идеальные элементы. Абстрактные геометрии 1б 7. Топология проективной плоскости. Замкнутые неориентируемые поверхности 18 8. Трехмерные замкнутые многообразия. Топологическое произве* дение 21 9. Некоторые математические и физические многообразия ... 24 Глава III ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 27 4» ГЛАВА I ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 1. Метрическое и качественное в геометрии. Элементарная геометрия имеет дело почти исключительно с такими свойствами фигур, которые связаны с понятиями длины, угла, площади, объема и тому подобными элементами измерительного характера. Такие свойства называются метрическими. Лишь очень немногие ее теоремы как бы случайно затрагивают свойства иного характера (например теорема о том, что три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке). Да и тогда эти свойства выступают не самостоятельно, а почти всегда тесно переплетаются с метрическими (так, в нашем примере метрическим является то обстоятельство, что биссектрисы делят углы на две равные части). Однако уже с возникновением проективной геометрии стало ясно, что не эти метрические свойства пространства являются ооновными и наиболее глубокими его свойствами. Обнаружился обширный класс интересных и вместе с тем несомненно глубоких свойств пространства, не зависящих от понятий длины, угла и тому подобных метрических элементов. Это — класс проективных свойств, т. е. таких свойств геометрической фигуры, которые сохраняются при любых преобразованиях этой фигуры, не искривляющих прямых линий. Преобразования такого рода носят название проективных преобразований. Все точки фигуры, находящиеся на одной прямой, остаются прямолинейно расположенными, какому бы проективному преобразованию ни подвергалась вся фигура. Примером проективного преобразования может служить деформация, которой подвергается плоская фигура при центральном проектировании ее (например при помощи проекционного фонаря) на какую-нибудь плоскость (вообще не параллельную плоскости фигуры). При таком проектировании размеры, углы, пропорции отдельных частей искажаются, однако 3 прямые остаются прямыми, следовательно, фигура подвергается проективному преобразованию. Можно доказать, что любое проективное преобразование плоской фигуры может быть осуществлено при помощи центрального проектирования (отсюда название: проективное преобразование). Углы и относительные размеры (пропорции) отдельных частей фигуры остаются неизменными при любых преобразованиях^ подобия, при проективных же преобразованиях они уже не сохраняются, они оказываются недостаточно прочными, чтобы устоять про- ^~^ тив общих проектив- /^|Щ$^ч ных преобразований. |§Щ§ЩШ| Еще менее стойкими |ЩЩ|Щр являются абсолютные ^ЩЩ§$Р^ размеры фигуры: дли- ф^^^ ны, площади, объемы и т.