Читать онлайн «Краткое изложение доказательства непротиворечивости планиметрии Лобачевского»

АКАДЕМИЯ НАУК СССР МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им В. А. СТЕКЛОВА Б. Н. ДЕЛОНЕ КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ ПЛАНИМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ НАУК СССР Москва — 1 953 ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга преследует скромную цель: изложить доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского в форме, доступной пониманию читателей, имеющих законченное среднее образование. До сих пор наши центральные научные учреждения нередко получают рукописи, содержащие „доказательство'4 пятого постулата Эвклида, т. е. аксиомы Эвклида о параллельных. Как отвечать таким авторам? Нужно отвечать просто: давно доказано, что доказать это невозможно. Но как это доказано? Где прочесть подробное и вместе с тем понятное человеку со средним образованием доказательство этой невозможности? Я надеюсь, что первые две главы настоящей книги восполнят этот пробел и тем самым сделают доступным более широким читательским массам понимание математической сути творения нашего великого геометра1. Остальные главы (III—V) и оба приложения написаны также по возможности доступно. В них излагаются различные дальнейшие теоремы планиметрии Лобачевского. 1 При обработке окончательного изложения глав I и II советовался с опытными учителями средней школы и очень им благодарен за ценные указания. 3 ВВЕДЕНИЕ 1. Предмет и значение геометрии. Пространство и время суть формы существования материи. Не существует пространства и времени в отрыве от материи. А сама материя находится в постоянном движении, и это движение происходит в пространстве и времени. В ряде вопросов нам приходится интересоваться лишь пространственными соотношениями реального мира, т. е. такими, в которых речь идет лишь о пространственной форме, величине и взаимном расположении предметов. От всех же остальных свойств предметов мы абстрагируемся, т. е. они не принимаются в расчет. Наукой, изучающей эти пространственные соотношения, является геометрия. Неудивительно, что человечество всегда с такой настойчивостью изучало геометрию, знание которой совершенно необходимо в жизни, технике и при разработке других наук. Изучение древних египетских и вавилонских текстов показывает, что простейшие истины геометрии были все получены в связи с запросами практики. 2. Геометрия до Лобачевского. Впервые элементарная геометрия, как последовательно излагаемая наука, была разработана более двух тысяч лет тому назад в древней Греции. В знаменитой книге Эвклида „Начала" (III век до нашей эры) было дано так хорошо обработанное изложение элементарной геометрии, что оно продержалось до наших дней. Тогда же в древней Греции геометрия развивалась и в некоторых других направлениях. Были, например, подробно изучены линии, называемые коническими сечениями — эллипс, 5 гипербола и парабола. Знаменитый греческий математик III в. до н. э. Архимед нашел способ для сколь угодно точного определения числа к и тем самым дал возможность вычислять длину окружности и площадь круга. Он же нашел выражение объемов цилиндра, конуса, шара, а также величин их поверхностей.