Читать онлайн «Топология и теория размерности. 9/1984»

НОВОЕ В ЖИЗНИ, НАУКЕ, ТЕХНИКЕ ПОДПИСНАЯ НАУЧНО-ПОПУЛЯРНАЯ СЕРИЯ МАТЕМАТИКА, КИБЕРНЕТИКА 9/1984 Издается ежемесячно с 1967 г. Б. А. Пасынков, В. В. Федорчук ТОПОЛОГИЯ И ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТИ Издательство «Знание» Москва 1984 ББК 22. 152 П 19 Борис Алексеевич ПАСЫНКОВ, Виталий Витальевич ФЕДОР- ЧУК — доктора физико-математических наук, профессора Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, специалисты в области геометрии и топологии Рецензент: Е. В. Ще п и н, доктор физико-математических наук, Пасынков Б. А. , Федорчук В. В. П 19 Топология и теория размерности. — М. : Знание, 1984. — 64 с. — (Новое в жизни, науке, технике. Сер. «Математика, кибернетика»; № 9). 11 к. Топология возникла и развивается на стыке многих математических дисциплин. Fe методы используются не только в математике, но и в механике. Физике и других науках. Одной из интереснейших областей общей топологии является теория размерности, сочетающая наглядные геометрические представления с абстрактными идеями топологии, алгебры и других разделов математики. Настоящая брошюра, которая знакомит с основными идеями и понятиями теории размерности. Судет интересна для всех интересующихся мчтсVTHKofi, начиная со школьников старших классов и кончая на\чнымн работниками и преподавателями вузов 1702040000 ББК 22. 152 517. 6 © Издательство «Знание», 1084 г. ВВЕДЕНИЕ « . . Топология — это род геометрических соображений, полезных во многих областях современной математики». Н. Стинрод, У. Чинн. Первые понятия топологии, 1966 Топология *, если говорить кратко, это геометрический раздел математики, изучающий непрерывность, точнее, непрерывные отображения. Понятия непрерывности и предела тесно между собой связаны и восходят еще к античности. Однако строгое их определение и последующее изучение на твердой основе стали возможными лишь во второй половине XIX столетия, после построения теории действительного числа, а затем канторовской теории множеств. Проследим (совсем кратко) путь, которым понятие непрерывной функции ведет к основным в топологии понятиям метрических и топологических пространств и их непрерывных отображений. Напомним, что действительнозначная функция у =» = / (х) действительного переменного, определенная на множестве XCR, называется непрерывной в точке х<> из X, если «достаточная близость переменной точки х к (фиксированной) точке х0 обеспечивает достаточную близость точки / (х) к точке / (лг0)», т. е. если выполняется условие (А) для любого числа е > О существует такое число 6 > О, что \f (х)— /(#о)|<е, как только \х — х0\ <8, xg X. Действительнозначные функции действительного переменного являются очень важным, но и весьма узким классом отображений, о непрерывности которых можно говорить. В математике уже давно определены и постоянно используются гораздо более общие, чем множества действительных чисел, образования («пространства»), непрерывные отображения которых можно (и важно) рассматривать и изучать. Чтобы подойти к тому, каким образом определяются такие «пространства», попытаемся понять, что же на самом деле существенно в условии (А). * Буквальная расшифровка — учение о положении — мало что говорит о содержании этой ветви математики. 3 Модуль разности двух чисел можно геометрически истолковать как расстояние между этими точками на числовой прямой R.